L5 Matrizen I

L5 Matrizen I
Matrix:
(Plural: Matrizen)
Vielfältige Anwendungen in der Physik:
- Lösung von linearen Gleichungsystemen
- Beschreibung von Drehungen
- Beschreibung von Lorenz-Transformationen (spezielle Relativitätstheorie)
- Lösung von linearen Differenzialgleichungen (nach Fouriertransformation)
- Bestimmung der Normalmoden von gekoppelten harmonischen Oszillatoren
- Bestimmung der Eigenzuständen und Eigenenergien eines Quantensystems
- Dirac-Gleichung (relativistische Version der Schrödingergleichung)
- ... ... ...
Für gründliche Einführung: siehe lineare Algebra Vorlesung
L5.1 Lineare Abbildungen und Matrizen
(allgemeinere Körper
Def:
und
seien zwei-
ist eine 'lineare Abbildung', falls
auch möglich, insbesondere
bzw.
Vektorräume, mit Dimension
Kompaktnotation verzichtet auf ( )-Klammern
Körper
Lin. Abb. ist ein Homomorphismus: sie 'respektiert' die Vektorraumstruktur v. V und W:
erst addieren/strecken, dann abbilden = erst abbilden, dann addieren/strecken
Alltagsbeispiele: Foto einer Person ist eine lineare Abbildung von
Foto einer Buchseite ist eine lineare Abbildung von
Im Folgenden betrachten wir zunächst die Standardvektorräume
n = 1, m = 1:
Kompaktnotation (nur für lineare Abbildungen):
verzichte auf ( )-Klammern
Beispiel:
wie in (b.2) gefordert
dann:
Essentielle Eigenschaft v. A: linear in x:
d.h. keine Konstante:
und keine Potenzen:
Konstante zerstört Linearität:
dann:
n = 2, m = 1:
n = 2, m = 2:
Beispiel: Rotation in 2 Dimensionen
Allgemein: n, m beliebig:
mit
Einstein-Notation:
dann wäre (b.2)
nicht erfüllt
wie in (b.2) gefordert
L5.2 Matrizen
'm x n Matrix'
ist rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n Spalten,
'Matrixelement':
Reihenindex (links oben):
Spaltenindex (rechts unten):
Spalte j:
ist ein 'Spaltenvektor', mit Komponenten
ist ein 'Reihenvektor', mit Komponenten
Reihe i:
'Quadratische Matrix' falls
Notationskonventionen:
oft auch mit beiden Indizes unten, oder oben:
Multiplikation: Matrix mal Spaltenvektor
Spaltenvektor mit n Komponenten
ist nx1 Matrix.
per Definition
Kompaktnotation:
Beispiele:
Einschub: Matrizen bilden einen Vektorraum
Menge aller mxn Matrizen, ist ein Vektorraum:
(i) Matrixaddition:
(elementenweise Addition)
Explizit:
(m = n = 2)
Beispiel:
Neutrales Element der Matrixaddition: "Nullmatrix" :
(bestehend aus lauter Nulleinträgen)
Negatives Element ( = inverses Element der Addition):
Lösung
Matrix bestehend aus den negativen Matrixelementen
Matrixaddition ist assoziativ:
und kommutativ:
(ii) Skalarmultiplikation:
(elementenweise Multiplikation)
Explizit:
(m = n = 2)
Beispiel:
mit Matrixaddition und skalarer Multiplikation gestattet, ist ein
-dimensionaler (reeller) Vektorraum [äquivalent zu
]
Wirkung einer linearen Abbildung auf Standardbasis
Position
von insgesamt
Standardbasis in
Standardbasis in
Position
von insgesamt
Was ist das Bild eines Standardbasisvektors für Abbildung A?
Position j:
Spalte j der Matrix
Fazit: für lineare Abbildung
liefert
Spalte j der Matrix
, dargestellt durch
das Bild des Basisvektors
L5.3 Matrixmultiplikation: Verknüpfung v. zwei linearen Abbildungen
Kompaktnotation:
mit
Matrixmultiplikation:
(zusätzliche Struktur zu der des Vektorraums)
(5e.3,4)
mit
Skalarprodukt von "Zeile k von B" und "Spalte j von A"
Nur definiert falls (# Spalten v. B) = (# Zeilen v. A).
Explizit:
Zeilen,
Spalten
Zeilen,
Zeilenvektor
Beispiel:
Spalten
Zeilen,
von B
Spalten
Spaltenvektor
von A
l = 3, m = 2, n = 2
Eigenschaften der Matrixmultiplikation:
1) nicht kommutativ:
(sogar gar nicht definiert,
falls Dimensionen nicht passen!)
Beispiel: (für m = n = p = 2)
verschieden !
verschieden !
2) assoziativ
(falls definiert)
Beweis:
denn skalare Addition
ist assoziativ
Beispiel: (m = n = p = 2)
Assoziativität gnadenlos explizit, für m = n = p = 2:
genau die gleichen Terme kommen vor (nur in unterschiedlicher Reihenfolge)
3. distributiv
Beweis:
ebenso:
4.
Beweis:
5. Falls
Quadratische Matrizen sind "abgeschlossen" unter Matrixmultiplikation.
6. Neutrales Element der Matrixmultiplikation:
"Einheitsmatrix (engl: identity)":
(für m = n)
(Einser auf der Diagonalen, ansonsten Nullen)
denn:
Explizit:
(n=3)
Quadratische Matrizen bilden eine 'Algebra': das ist ein Vektorraum mit
zusätzlicher Multiplikation mit Verträglichkeitsbedingungen (assoziativ, distributiv),
und Einselement.
Zusammenfassung: L5.1-5.2 Lineare Abbildungen und Matrizen
ist 'lineare Abbildung', falls
Für
hat eine lineare Abbildung die Form:
mit
m x n Matrix:
Spalte j:
Reihe i:
Abbildung der Standardbasis:
= Spalte j
dim. Vektorraum,
Die reellen (mxn)-Matrizen bilden einen
mit Matrixaddition,
(elementenweise)
und Skalarmultiplikation,
(elementenweise)
Verknüpfung von zwei linearen Abbildungen
Matrixmultiplikation
(5e.3,4)
(Zeile k von B) (Spalte j von A)
Matrixmultiplikation ist assoziativ & distributiv, aber nicht kommutativ !