¨Ubungen zur Vorlesung ” Geometrie“

Blatt 2:
Prof. Dr. H. Dinges
Übungen zur Vorlesung
”
WS 2011/12
Geometrie “
http://ismi.math.uni-frankfurt.de/dinges/teaching/
Datum: 24.10.2011
Abgabe: . . . . 2011
Aufgabe 4:(Diametralpunkte)
(? Punkte)
Man sagt von zwei komplexen Zahlen z0 , z1 , dass sie zueinander diametral
liegen, wenn gilt z0 · z̄1 = −1.
(Bemerke: der Diametralpunkt von r · eiφ ist − 1r · eiφ , Diametralpunke liegen
also auf derselben Geraden durch den Nullpunkt.)
a) Erläutern Sie anhand eines Bildes, dass diametrale Punkte im Sinne
der Sprechweise tatsächlich diametralen Punkten auf der Riemann’schen
Zahlenkugel entsprechen.
(Benützen Sie den elementaren Höhensatz: in einem rechtwinkligen Dreieck
ergibt sich das Quadrat der Höhe als Produkt der Hypotenusenabschnitte:
h2 = p · q.)
b)Es sei ϕ(z) = −az+b
. Zeigen Sie: wenn z0 , z1 zueinander diametral
b̄z+ā
liegen, dann auch ϕ(z0 ), ϕ(z1 ).
Aufgabe 5:(Unitäre Matrizen)
(? Punkte)
Es sei A eine komplexe n × n-Matrix. Die Spalten seien mit a1 , a2 , . . . , an
bezeichnet, die Zeilen mit b1 , b2 , , . . . , bn . a) Es gelte
(
1 wenn j = k
a∗j · ak =
0 wenn j 6= k
Zeigen Sie
bl · bm∗
(
1
=
0
wenn l = m
wenn jlnem
(Zur Notation: die hermitische Konjugation ∗ macht aus einer Spalte eine
Zeile, und aus einer Zeile eine Spalte, jeweils mit den konjugiertkomplexen
Einträgen.)
b) Die Matrizen der Form
a b
−b̄ ā
mit |a|2 + |b|2 = 1
erfüllen offenbar die Bedingungen. Gibt es noch weitere komplexe 2 × 2Matrizen, welche die Bedingungen erfüllen?
Aufgabe 6:(Schiefhermitische Matrizen)
(? Punkte)
Eine komplexe n × n-Matrix A heisst eine schiefhermitische Matrix, wenn
gilt A∗ = −A.
(Eine Matrix A ist also genau dann schiefhermitisch, wenn iA hermitisch ist.)
a) Zeigen Sie, dass die Menge der schiefhermitischen Matrizen ein n2 dimensionaler reeller Vektorraum ist.
b) Zeigen Sie: Wenn A und B schiefhermitisch sind, dann auch
C = A · B − B · A (der sog. Kommutator)
c)Zeigen Sie: Wenn A schiefhermitisch ist, dann ist die Matrix Ut = exp tA
unitär für jedes relle t :
Ut∗ · Ut = I (Einheitsmatrix).
(Empfehlung: Gründen Sie Ihr Argument auf die Beziehung Us · Ut = Us+t .)
Aufgabe 7: (Der spezielle euklidische Raum E = H0 )
(? Punkte)
Es sei E (oder H0 zum leichteren Memorieren) die Menge der spurlosen
hermitischen 2 × 2-Matrizen.
a) Zeigen Sie, dass E
und finden Sie eine Basis.
ein dreidimensionaler reeller Vektorraum ist,
b) Zeigen Sie: Für jedes A ∈ E ist das Quadrat A2 ein positives
Vielfaches der Einheitsmatrix.
c) Folgern Sie aus b), dass A · B + B · A ein Vielfaches der Einheitsmatrix
ist für alle A, B ∈ E.
d)) Zeigen Sie, dass für alle A, B ∈ E gilt A · B = b(A, B) · I, mit der
symmetrischen Bilinearform b(A, B) = 21 trace(AB). b(A, A) = − det A.