7. Übung zur Mathematik II für Studierende der Chemie

MATHEMATISCHES INSTITUT
DER UNIVERSITÄT ZU KÖLN
Dr. R. Wienands
Dr. C. Alfes-Neumann
Sommersemester 2017
26. Mai 2017
7. Übung zur Mathematik II für Studierende der Chemie
ABGABE DER ÜBUNG AM 12.06.2017 bzw. 13.06.2017 IN DER IHNEN ZUGETEILTEN
ÜBUNGSGRUPPE!
Sei A ∈ Rn×n eine n × n-Matrix mit Einträgen in R. In dieser Übung wiederholen wir einige Inhalte aus der Vorlesung Mathe I (bitte schauen Sie Definitionen, die hier nicht nochmals
wiederholt werden, in den entsprechenden Vorlesungsunterlagen nach).
Aufgabe 1.
(15 Punkte schriftlich - Berechnung der Determinante und der Inversen einer Matrix)
Zunächst erinnern wir daran, wie man (mit einfachen Verfahren) für n = 1, 2, 3 die Determinante
von A bestimmen kann.
• Im Fall n = 1 ist A = a11 und es gilt det(A) = a11 .
11 a12
• Im Fall n = 2 ist A = ( aa21
a22 ) und es gilt det(A) = a11 a22 − a12 a21 .
a11 a12 a13 • Im Fall n = 3 ist A = aa21 aa22 aa23 . Die Determinante kann man mit der Regel von Sarrus
31
32
33
ausrechnen. Es ist det(A) = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a11 a23 a32 −
a12 a21 a33 . Folgendes Bild veranschaulicht die Berechnung (deswegen heißt die Regel von
Sarrus oft auch Gartenzaunregel ):
Abbildung 1: Quelle: wikipedia
Die Inverse von A (wobei det(A) 6= 0) ist gegeben durch
A−1 =
1
A∗ ,
det(A)
wobei A∗ die Adjunkte der Matrix A bezeichnet.
(a) Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen:
A=
1
3
2
12
,B=
4
1

1
0
, C = 4
2
7
2
5
8


3
1
5 , D = 0
9
1
0
1
1


1
1
0
0 , E = 
0
1
0
2
1
0
0
3
2
1
0

4
3
.
2
1
(b) Berechnen Sie die Inversen der folgenden Matrizen:

1
1 2
A=
, B = 2
3 4
2
2
4
1

0
1 .
0
Aufgabe 2.
(15 Punkte schriftlich – Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren)
Hat die Gleichung
Ax = λx
eine Lösung x 6= 0 für ein λ ∈ R, so heißt λ Eigenwert von A. Jede Lösung x 6= 0 heißt Eigenvektor
von A zum Eigenwert λ.
Man berechnet die Eigenwerte der Matrix A, indem man die Nullstellen λi , i = 1, . . . , n, des
charakteristischen Polynoms PA (X) = det(XEn − A) bestimmt. Hierbei bezeichnet En die n × nEinheitsmatrix. Die zugehörigen Eigenvektoren xi , i = 1, . . . , n, bestimmt man dann durch Lösen
des Gleichungssystems Axi = λi xi .
Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden Matrizen:


−2 0 3
3 0
1 1
A=
, B=
, C =  2 4 0 .
−4 5
3 −1
1 0 0
Aufgabe 3.
(mündlich – Matrizenmultiplikation und das Transponierte
Berechnen Sie für

3
1 2
2 3 2
A=
, B=
, C = 1
3 6
1 8 2
5
einer Matrix)

4
2 ,
4

3
D = 2
1
4
2
2

2
2
1
die folgenden Ausdrücke:
(a) A · B,
(b) A · B · C,
(c) C · D,
(d) D2 ,
(e) C t ,
(f) D · C.
Aufgabe 4.
(mündlich – Komplexe Zahlen)
Es seien x, y ∈ C komplexe Zahlen. Wir schreiben x = a + ib und y = c + id für die jeweilige
Zerlegung in Real- und Imaginärteil (d.h. a, b, c, d ∈ R).
(a) Geben Sie jeweils den Real-und Imaginärteil der folgenden Ausdrücke an:
(i) x + y,
(ii) x · y,
(iii)
x
y.
(iv) x + ȳ.
(b) Berechnen Sie nun:
(i) (4 + 5i) + (22 + 3i),
(ii) (22 + 33i) · (5 + i),
(iii)
1+i
1−i .