Übungen affine Abbildungen

Übungen affine Abbildungen
Aufgabe 1: Bestimme alle Fixpunkte der Abbildungen:
  6  4   2
  2 1     5
  x   
  x   
 : x '  
 : x '  
1
 3
6
 1 2
 1

6    3
 2
  x   
 4  7
  4
 : x '  
Aufgabe 2: Bestimme die Fixgeraden:
   3  2 
  2 3 
  x
  x
 : x '  
 : x '  
4
 5
 2 1
   0,6 0,8  
  x eine Spiegelung an einer Ursprungsgeraden ist;
Aufgabe 3: Zeige, dass  : x '  
 0,8 0,6 
bestimme die Spiegelachse sowie den Schnittwinkel der Spiegelachse mit der x1-Achse.
Aufgabe 4: Ermittle die Abbildungsvorschrift einer Parallelstreckung an der Achse x1 = 2 in
Richtung x2-Achse mit dem Streckfaktor 2.
Aufgabe 5: Bestimme eine Abbildungsvorschrift:
a) A(2|2) -> A’(-2|4), B(1|-1)->B’(-13|6), C(-1|0)->C’(-7|3)
b) A(2|0)->A’(10|-12), B(-1|4)->B’(3|-2), C(5|1)->C’(27|-32)
Aufgabe 6: Ermittle die Umkehrabbildung:
   5 1 
  1
  x
 : x '  
 : x '  
  1 3
1
3   2 
  x   
2 
  1
Aufgabe 7: Berechne zu den Abbildungen jeweils das Bild von g bzw. das Urbild von h’:
3
  2
g : x     t   
h ' : x 2  3x1  2
1 
7
Aufgabe 8:
 2 1 1
 2 2 1




Berechne für A   1 2 0  und B   1 3 0  A∙B, B∙A, det(A), det(B), A-1, B-1.
 1 1 0
 3 1 1




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LÖSUNGEN:
1) a) F(2|3)
c) x1 – 2x2 = 1 ist Fixpunktgerade
b) kein Fixpunkt

 2

  5
2a) 1  2 mit EV v1  

1 

  1
b) 1  1 mit EV v1  
 1

und 2  1 mit v 2    liefern die Fixgeraden durch O.
  1
  3
und 2  4 mit v 2    liefern die Fixgeraden durch O.
 2
  2
1 
3) Eigenwerte sind 1 und -1, die Eigenvektoren   und   sind orthogonal, also
 2
1 
Achsenspiegelung (O als Fixpunkt ist eh klar!), es ist eine Spiegelung an der
Ursprungsgeraden g: x2 = 2x1, die mit der x1-Achse den Winkel  = 63,43° einschließt.
4) Aus einer Zeichnung ergibt sich: O’(-2|0), E1’(0|0) und E2’(-2|1). Damit gilt:

 2 0    2
  x    (zur Kontrolle: Eigenwerte sind 1 und 2, EV passen!)
0
1


 0
 : x  

  1 4     8
  x   
 1  1
 4
b)  : x  
1 3 1 

x
14  1  5 
 1 : x  
5) a)  : x  

6)  1 : x  


2  
 5
  x
  6  2
1  2  3     1,4 
  x  

5  1 1 
  0,2 
7) Die Abbildungen aus Aufgabe 6 bilden ab auf:

  9
  8
  t    ,
 1
 18 

 7
 24 
  t   
  1
 11
für : g': x  
für : g': x  
1
 
0
 7
h:x 
 t   
5
 1
 
7
  14 
   2,6 
  t  

h : x  
 0,2 
 8
8) Es ist:
 6 2 3


A  B   4 8 1
 3 5 1


 7 3 2


B  A   5 5 1  det( A)  1 det( B)  4
 8 0 3


3
 0 1 2 
 3 1

 1 1 
A   0 1 1 B   1
1 1
4
 1 3  5


 8 4 4
1
(Ich hoffe, ich habe keine Rechen- oder Tippfehler eingebaut. Sollte jemandem ein
(vermeintlicher) Fehler auffallen: bitte mailen an : [email protected] !)