Übungsblatt 09 - Fakultät für Mathematik

Michael Baake
Bielefeld, 08.12.2011
Fakultät für Mathematik,
Universität Bielefeld
Lineare Algebra für die Physik
Wintersemester 2011/2012
Übungsblatt 9
(33) Zeigen Sie, dass die reelle Matrix
A=
a b
b d
genau dann positiv definit ist, wenn a und det(A) positiv sind. Leiten Sie daraus ein
Kriterium dafür ab, dass A negativ definit ist.
Hinweis: Berechnen Sie xt Ax und ergänzen Sie zu einem vollständigen Quadrat.
(2 Punkte)
(34) Auf V =
Rn sei ein inneres Produkt durch
hx, yi := xt Ay
definiert, wobei A eine symmetrische, positiv definite, reelle Matrix ist.
(a) Zeigen Sie, dass die Eigenschaften des inneren Produkts tatsächlich erfüllt sind.
(b) Wie lautet die Gram’sche Matrix der kanonischen Basis bezüglich dieses inneren
Produkts? Welche Bedingung muss A erfüllen, damit die kanonische Basis {ei }
eine Orthonormalbasis bezüglich dieses inneren Produkts ist?
(c) Berechnen Sie die duale Basis der kanonischen Basis bezüglich dieses inneren
Produkts.
(3 Punkte)
(35) (a) Berechnen Sie alle Matrizen der Gruppe O(1).
(b) Berechnen Sie alle orthogonalen 2 × 2–Matrizen.
(c) Zeigen Sie, dass det(A) ∈ {1, −1}, falls A orthogonal ist.
(d) Zeigen Sie, dass | det(A)| = 1, falls A unitär ist.
(bitte wenden)
(4 Punkte)
(36) Seien A und B hermitesche n × n Matrizen. Zeigen Sie, dass
(a) A + B hermitesch ist.
(b) AB genau dann hermitesch ist, falls A und B kommutieren, d.h. falls AB = BA.
(c) die Diagonalelemente von A reell sind.
(d) det(A) reell ist.
Abgabe bis zum 15.12.2011, 10.00 Uhr
(4 Punkte)