Lemma 0.1. Für alle a, b ∈ R, n ∈ N ist an − bn = (a − b) ∑ Aufgabe

Lemma 0.1. Für alle a, b ∈ R, n ∈ N ist
an − bn = (a − b)
n−1
X
ai bn−1−i .
i=0
Aufgabe 7. Sei (xi )i∈N eine Folge reeller Zahlen. Sei

1 x1 x21 . . .


 1 x2 x22 . . .
Xn := 

 ...

1 xn x2n . . .
x1n−1






... 

n−1
xn
x2n−1
Behauptung 1. Für alle n ≥ 2 ist
n
Y
det(Xn ) =
(xk − xi )
i,k=1,i<k
Beweis. Es ist
det(X2 ) = x2 − x1 .
Sei n ∈ N, n ≥ 3. Es gelte
det(Xn−1 ) =
n−1
Y
(xk − xi ).
i,k=1,i<k
Da die Determinantenfunktion invariant unter Zeilenaddition ist, ist


0 x1 − xn x21 . . . x1n−1 − xnn−1




 0 x2 − xn x22 . . . x2n−1 − xnn−1 

.
det(Xn ) = 

 ...

...


2
n−1
1
xn
xn . . .
xn
Jetzt entwickeln wir nach der 1-ten Spalte und erhalten

x − xn
x21 − x2n . . . xn−1
− xn−1
1
n
 1

 x2 − xn
x22 − x2n . . . xn−1
− xn−1
2
n
det(Xn ) = 


...
...

n−1
xn−1 − xn x2n−1 − x2n . . . xn−1
n−1 − xn
1




.



2
Nach Lemma ist

P1
i 1−i
i=0 x1 xn
Pn−2
i n−2−i
i=0 x1 xn
1
...

Pn−2 i n−2−i
P

1
n−1
Y
 1
xi2 xn1−i . . .
i=0 x2 xn
i=0
det(Xn ) =
(xn − xi ) 

 ...
...
i=1

P1
P
n−2 i n−2−i
i
1−i
1
...
i=0 xn−1 xn
i=0 x1 xn




.



Wir ziehen nun von der letzten Spalte das xn -fache der vorletzten Spalte ab. Dann von der
vorletzten das xn -fache der vorvorletzten usw. Wir erhalten dann


1
x1 . . . x1n−2



n−1
n−2 
Y
Y
 1
x2 . . . x2  n−1

=
det(Xn ) =
(xn − xi ) 
(xn − xi ) det(Xn−1 ).



.
.
.
.
.
.
i=1

 i=1
1 xn−1 . . . x1n−2
Nach Induktionsvoraussetzung folgt
det(Xn ) =
n
Y
(xk − xi ).
i,k=1,i<k
Mit vollständiger Induktion folgt die Behauptung.