Algebraische Zahlentheorie - Probeklausur

Fachbereich Mathematik und Statistik
Prof. Dr. Salma Kuhlmann
Michele Serra
Simon Müller
SS 2017
Algebraische Zahlentheorie - Probeklausur
Hinweis. Bitte bearbeiten Sie die folgenden 3 Aufgaben unter realistischen Klausurbedingungen mit einem Zeitlimit von 90 Minuten. Arbeiten Sie insbesondere allein und ohne
Zuhilfenahme von Büchern, Mitschriften etc. Nur so gelangen Sie zu einer realistischen
Selbsteinschätzung. Beachten Sie, dass die Hauptklausur 180 Minuten lang dauern und
entsprechend umfangreicher sein wird.
Aufgabe 1. (a) Definieren Sie den Begriff einer Ganzheitsbasis.
(b) Sei L = Q(α) eine Zahlkörper vom Grad n und α ein primitives Element. Sei f das
Minimalpolynom von α und seien α1 , . . . , αn seine Nullstellen. Sei D(1, α, . . . , αn−1 ) die
Diskriminante der Basis {1, α, . . . , αn−1 }. Zeigen Sie die folgenden Gleichungen:
D(1, α, . . . , αn−1 ) = det(αij )2 = (−1)
n(n−1)
2
NL/Q (f 0 (α)).
(c) Sei α eine Nullstelle von f (x) = x3 + x + 1 und sei K = Q(α). Berechnen Sie OK .
L
Lösung. (a) Im Allgemein, für einen HIR R und eine separable Erweiterung L ist S = R
ein freier R-Modul der Dimension n. Eine Basis {µ1 , . . . , µn } für S über R heißt eine
Ganzhietsbasis.
Im speziellen Fall eines Zahlkörpers L/Q ist eine Ganzheitsbasis eine Basis {α1 , . . . , αn } ⊆
OL für L/Q die OL als Z-Modul erzeugt.
(b) Die Matrix B von BL/Q bzg. {1, α, . . . , αn−1 } ist V T V wobei Vij = σi (αj ), also det B =
det V 2 (siehe ÜB9). Da D(v1 , . . . , vn ) = det BL/K (vi , vj ) für eine Basis {v1 , . . . , vn }, die
erste Gleichung folgt.
die zweite Gleichung ist Proposition 15.1 im Skript.
(c) f ist irreduzibel (reduziere mod 5), α ist ein primitives Element. Die Diskriminante
eines Polynoms der Form x3 + px + q ist −4p3 − 27q 2 also D(f ) = D(1, α, α2 ) = −31
quadratfrei. Also {1, α, α2 } ist eine Ganzheitsbasis, also sie erzeugt OK über Z: OK =
Z[α].
Aufgabe 2. (a) Definieren Sie die Spur und Norm einer endliche Körpererweiterung L/K.
Seien nun K ⊂ L ⊂ M Körpererweiterungen mit M/K endlich separabel. Welche
Beziehung gibt es zwischen den Spuren bzw. Normen der Zwischenerweiterungen und
der Spur bzw. Norm von M/K? Begründen Sie ihre Antwort.
(b) Definieren Sie den Begriff eines Ganzelement. Entscheiden Sie, ob die folgende Zahlen
ganz über Z sind.
q√
√
1
3
5
√
β=
α=
2+ 5
3− 5
(c) Sei R ein ganz abgeschlossener Ring und sei Q der Quotientenkörper von R. Ferner sei
K eine Körpererweiterung von Q und α ∈ K algebraisch über Q.
Zeigen Sie, dass α genau dann ganz über R ist, wenn das Minimalpolynom von α über
Q in R[X] ist.
Lösung. (a) Die Definitionen befinden sich im Skript, 11. Vorlesung.
Sei α ∈ M . Dann NM/K (α) = NL/K (NM/L (α)) und SpM/K (α) = SpL/K (SpM/L (α)). Der
Beweis ist Korollar 12.3 in der 12. Vorlesung.
√
(b) Sei N die Norm auf Q( 5)/Q. Dann ist
√
√
√
1
N (α) = N (3 − 5)−1 = ((3 − 5)(3 + 5)−1 = ∈
/Z
4
Also α ist nicht ganz über Z.
Zu zeigen dass β ganz
der Ganzheit. Da β eine
√ benutzen wir die Transitivität
√ √
√ ist,
Nullstelle von x3 − ( 2 + 5 5), genügt es zu zeigen dass 2, 5 5 ganz über Z sind. Aber
das ist klar als sie Nullstelle von x2 − 2 bzw. x5 − 5 sind.
(c) Dass war Übungsblatt 1 Aufgabe 1.
Aufgabe 3. (a) Definieren Sie den Begriff eines Dedekindrings
(b) Geben Sie eine äquivalente Definition eines Dedekindrings aus der Vorlesung oder Übung
an. Beweisen Sie die Äquivalenz.
(c) Alle Hauptidealringe sind Dedekindringe. Gilt die Umkehr auch? Begründen Sie ihre
Antwort.
Lösung. (a) Ein Dedekindring ist ein Integritätsbereich wo jedes Ideal ein Produkt von
Primidealen ist. (vgl. Definition 16.1 im Skript)
(b) Es gibt verschiedene Möglichkeiten:
• Ein Integritätsbereich wo jedes 6= 0 Ideal invertierbar ist. (Satz 17.6)
• Ein noetherscher ganz abgeschlossener Integritätsbereich wo jedes Primideal maximal ist. (Satz 18.1)
• Ein noetherscher Integritätsbereich mit der Eigenschaft dass jede Lokalisierung nach
einem maximalen Ideal ein diskreter Bewertungsring ist. (Übungsblatt 12, Aufgabe
3)
√
√
(c) Nein: Z[ −5] ist ein Dedekindring, da er der Ring
√ der ganzen
√ Zahlen von Q( −5) ist.
Er ist aber nicht faktoriell, als 6 = 2 · 3 = (1 + −5)(1 − −5) (vgl. Übungsblatt 2,
Aufgabe 2), und daher kein HIR.