4 Skalarprodukt - Beck-Shop
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33 4 Skalarprodukt Die Addition und skalare Multiplikation von Vektoren haben Sie bereits kennengelernt. Nun stellt sich die Frage, ob man auch die Multiplikation zweier Vektoren sinnvoll definieren kann. Ein mögliches Produkt und seine Eigenschaften werden in diesem Kapitel vorgestellt. Für metrische Berechnungen (Längen und Winkel) mithilfe von Vektoren ist dieses Hilfsmittel unverzichtbar. 34 Skalarprodukt 4.1 Definition und Eigenschaften des Skalarprodukts In diesem Kapitel lernen Sie ein Produkt zwischen zwei Vektoren kennen, das durch seine Eigenschaften in vielen wichtigen geometrischen Fragestellungen Anwendung findet. Der Name Skalarprodukt weist darauf hin, dass das so definierte Produkt zweier Vektoren ein Skalar, also eine reelle Zahl ist. Ein weiteres Produkt zwischen Vektoren lernen Sie in Kapitel 6 kennen. Definition Beispiel G b1 G a1 G G Das Skalarprodukt a D b zwischen zwei reellen Vektoren a = a 2 und b = b 2 ist b a3 3 definiert als: G G a D b = a1b1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 G G Bei zweidimensionalen Vektoren a und b ergibt sich entsprechend: G G a D b = a1b1 + a 2 b 2 3 −4 5 1 3 Berechnen Sie 4 D 2 und 3 D − 4 ⋅ 1 . −2 −3 0 4 2 Lösung: 3 − 4 4 D 2 −2 −3 = 3 ⋅ ( − 4) + 4 ⋅ 2 + ( −2) ⋅ ( −3) = −12 + 8 + 6 = 2 3 3 3 −21 5 1 3 3 D − 4 ⋅ 1 = (5 ⋅1 + 3 ⋅ ( − 4) + 0 ⋅ 4) ⋅ 1 = (5 − 12 + 0) ⋅ 1 = −7 ⋅ 1 = −7 2 2 2 −14 0 4 2 Hinweis: Achten Sie auf den Unterschied zwischen dem Zeichen „D“ für Skalarprodukt und „⋅“ für die skalare Multiplikation. Das Ergebnis des ersteren ist eine Zahl, das Ergebnis des letzteren ein Vektor. Die skalare Multiplikation hat dabei Vorrang vor dem Skalarprodukt. In diesem Buch wird konsequent das Zeichen „D“ für das Skalarprodukt verwendet. Das Skalarprodukt besitzt einige wichtige Eigenschaften. Regel Eigenschaften des Skalarprodukts G G G G • Das Skalarprodukt ist kommutativ: a D b = b D a G G G G • Das Skalarprodukt a D a eines Vektors mit sich selbst ist nie negativ: a D a ≥ 0 G G G2 Man schreibt: a D a = a G G • Das Skalarprodukt a D a eines Vektors mit sich selbst ist genau dann gleich null, G G G wenn a der Nullvektor ist, also für a = o. G G G G G G G • Für das Skalarprodukt gilt das Distributivgesetz: a D (b + c) = a D b + a D c Skalarprodukt 35 Diese Eigenschaften lassen sich leicht nachweisen; dafür greift man immer auf die Definition des Skalarprodukts zurück. Beispiel Beweisen Sie das Kommutativgesetz für das Skalarprodukt. Lösung: Nach der Definition gelten folgende beiden Gleichungen: G G G G a D b = a 1b1 + a 2 b 2 + a 3b 3 und b D a = b1a 1 + b 2 a 2 + b 3a 3 Die jeweils rechten Seiten dieser Gleichungen stellen Terme in der Menge der reellen Zahlen dar. Für diese Terme gilt bekanntermaßen das Kommutativgesetz, sodass wegen a1b1 = b1a1 bzw. a 2 b 2 = b 2a 2 bzw. a 3b 3 = b 3a 3 in der Menge der reellen Zahlen gilt: a 1b1 + a 2 b 2 + a 3b 3 = b1a 1 + b 2a 2 + b 3a 3 Somit sind auch die linken Seiten der beiden Gleichungen gleich, d. h. G G G G a D b = b D a. Das Kommutativgesetz gilt folglich auch für das Skalarprodukt. Aufgrund der Eigenschaften des Skalarproduktes können Sie also mit dieser Multiplikation von Vektoren genauso rechnen wie mit der Multiplikation von Zahlen. UnterG anderem Ggelten die binomischen GFormeln, z. B.: G G G G G G G (a + b) 2 = (a + b) D (a + b) = a 2 + 2 ⋅ (a D b) + b 2 (vgl. Aufgabe 35) Aufgaben 29. Berechnen Sie die folgenden Skalarprodukte. a) 3 −1 2 D 2 b) r −s s D r c) 3 2 −1 D 5 0 −4 d) a −b b D a c 1 30. Bestimmen Sie die Zahl a so, dass das Skalarprodukt die angegebenen Werte besitzt. 3 a a) a D −2 = 8 2 5 a a b) a D −2 = 6 2 3 31. Beweisen Sie, dass für das Skalarprodukt gilt: a) b) c) d) G G G a D a ≥ 0 für alle Vektoren a G G G G a D a = 0 nur für a = o G G G G G G G Distributivgesetz: a D (b + c) = a D b + a D c G G G G Für k ∈ 0 gilt: k ⋅ (a D b) = (k ⋅ a) D b
