Das Skalarprodukt

Das Skalarprodukt
2D
3D
Wie berechnet man die Länge einer Strecke?
Mit dem Satz des Pythagoras!
∣a∣=  x 2a  y 2a
∣a∣=  x  y  z
2
a
2
a
2
a
Das Skalarprodukt
Auftrag:Überlege dir, wie man rechnerisch
überprüfen kann, wann zwei Vektoren senkrecht
zueinander sind!
Entscheide dich für eine Möglichkeit!
Wenn ihre Koordinaten entgegengesetzt sind ?
➔Wenn jeweils eine Koordinate Null ist ?
➔Wenn der Satz des Pythagoras gilt ?
➔Wenn sie die selbe Länge haben ?
➔
Das Skalarprodukt
Orthogonalität von Vektoren
Um Kanditaten für Orthogonalität sein zu können, müssen
die zwei Vektoren linear unabhängig sein, also nicht in die
selbe Richtung zeigen.
Es ist eine solche Figur dann immer möglich:
Das Skalarprodukt
Wenn zwischen den Vektoren a und b ein rechter Winkel
liegt, dann muss der Satz des Phythagoras gelten:
∣a∣2∣b∣2=∣b−a∣2
mit ∣a∣=  x 2a  y 2a  z a2
2
2
2

∣b∣=  x b y b z b
2
2
2

und ∣b−a∣=   x b− x a   y b− y a   z b− z a 
gilt dann
x 2a  y a2 z a2 x 2b y 2b z 2b= x b− x a 2 y b− y a 2 z b− z a 2
Das Skalarprodukt
Nach etwas Umformung (ausmultiplizieren und
zusammenfassen) erhält man:
x a⋅x b y a⋅y b z a⋅z b=0
Also sind die beiden Vektoren genau dann
orthogonal, wenn die Gleichung gilt
Das Skalarprodukt
Definition:
Das Produkt zweier Vektoren a und b bezeichnet
man als Skalarprodukt. Es gilt folgende Gleichung:
a⋅b= x a⋅x b  y a⋅y b z a⋅z b