ABITURVORBEREITUNG - Thema 15 Skalarprodukt

ABITURVORBEREITUNG - Thema 15
Skalarprodukt
I.
Wiederholen Sie folgende Theorie: Definition des Skalarprodukts sowie Berechnungen,
Orthogonalitätsbedingungen für Vektoren, Schnittwinkel zweier Geraden, (senkrechte) Abstände geometrischer
Objekte voneinander, Zusatz: Zusammenhang vektorielle Kreis- und Kugelgleichung und Skalarprodukt, Arbeit
mit dem GTR (PROGRAM)
II.
Lösen Sie folgende Aufgaben!
1. Berechnen Sie die Winkel, die der Vektor mit den Koordinatenachsen einschließt.
a)
 3
v =  
- 4
2
b)   
v=3
 - 1
 
2. Gegeben sind die Punkte A(3/2/-1), B(-2/1/0) und C(1/-1/3).
a) Ermitteln Sie die Seitenlängen des Dreiecks ABC sowie die Größe der Innenwinkel.
b) Bestimmen Sie die Länge der Seitenhalbierenden des Dreiecks.
c) Die dritte Koordinate C(1/-1/z) werde so verändert, dass das Dreieck rechtwinklig ist. Welche Werte für z sind
möglich?
3. Geben Sie Schnittpunkt und Schnittwinkel der folgenden Geraden an.
0
1
2
3
 
 
  
  
g : x =  6  + r   2
und h : x =  7  + s   9 
 - 5
 3
11 
 - 1
 
 
 
 
4. Welche der Geraden sind zueinander orthogonal?
1
1
0
 3
 
 
  
  
g : x =  3 + r   0 
h : x =  1  + s 1
7
 - 1
 - 1
 0
 
 
 
 
 - 1
 3
 
  
k : x =  - 1 + t   3 
1
 3
 
 
5. Es ist OABCDEFG ein Pyramidenstumpf (vgl. Abbildung).
a) Untersuchen Sie, ob Grund- bzw.
Deckfläche Quadrate sind und bestimmen
Sie die Koordinaten der Diagonalenschnittpunkte MG und MD.
b) Unter welchem Winkel schneiden sich die
Diagonalen in Grund- und Deckfläche?
c) Berechnen Sie die Länge der Strecke
von MG bis MD und weisen Sie nach, dass
die durch MG und MD bestimmte Gerade
mit der xy-Ebene einen rechten Winkel
einschließt.
d) Berechnen Sie die Winkel EAB, EFB,
DOB, EFD.