2. Dezember 1999 8. Übung zur Vorlesung Mathematik I für WI 1

Brandenburgische Technische Universität Cottbus
Institut für Mathematik
Prof. Dr. H.-U. Küenle
2. Dezember 1999
8. Übung zur Vorlesung Mathematik I für WI
1 2
2
 1 2 2
1. Berechnen Sie alle Skalarprodukte der Vektoren a   ,  ,  , b    , ,  und
3 3
3
 3 3 3
1
2 2
c   , ,   . Was kann man aus dem Ergebnis schließen? Welchen Betrag haben die
3
3 3
Vektoren?
2. In einem kartesischen Koordinatensystem sind drei aufeinanderfolgende Eckpunkte
A  1 ,  2 , 3 , B  3 , 2 , 1 und C  6 , 4 , 4 eines Parallelogramms in mathematisch positiver Orientierung gegeben. Bestimmen Sie den vierten Eckpunkt.
Berechnen Sie den Schnittwinkel der Diagonalen der räumlichen Figur.
3. a) Gesucht ist eine Gleichung der Geraden g durch die Punkte
A   1 , 2 , 3 und B   2 , 6 ,  2 .
b) Liegen die Punkte X  1 , 2 , 1 , Y   1 , 1 , 2 und Z  5 , 4 ,  2 auf einer
Geraden?
c) Gesucht ist die Gerade h , welche die z-Achse senkrecht schneidet und den Punkt
P  1 , 1 , 1 enthält.
d) Bestimmen Sie die Durchstoßpunkte der Geraden g durch die Koordinatenebenen.
4. a) Gesucht ist eine Gleichung der Ebene, zu der der Vektor n   2 , 1 , 3 orthogonal
ist und die durch den Punkt P1  5 , 3 ,  2 geht.
b) Gegeben sei die Ebene  durch 4 x  2 y  3z  11 .
Gesucht ist die Gleichung der Parallelebene durch P2  1 , 2 , 1 .
c) Geben Sie eine Gleichung der Ebene an, die durch die Punkte
A  1 ,  2 , 7 , B  5 , 3 , 6 und C   2 ,  8 , 1 eindeutig festgelegt ist.
5. Es seien a , b  IR 3 zwei Einheitsvektoren, die einen Winkel von 60 0 einschließen.
a) Sind x  2a  3b und y  4a  b orthogonal zueinander?
b) Man bestimme x , y und y  x .
6. Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P  7 , 4 von der Geraden 3x  2 y  12 .
7. Bestimmen Sie den Flächeninhalt des von den Vektoren x   2 , 1 , 3 und
y   6 , 4 , 2  aufgespannten Parellelogramms.
8. Gesucht ist das Volumen des Parallelepipeds, das von den Vektoren
a   3 , 4 , 0 , b   0 ,  3 , 1 und c   0 , 2 , 5 aufgespannt wird.
9. Bestimmen Sie den Winkel zwischen den Ebenen x  2 y  2 z  8 und x  z  6 .
10. Untersuchen Sie die Lage der Geraden
x ,
y , z    1 , 2 , 1    2 , 1 ,  1 ,   IR
T
T
T
zur Ebene 3x  2 y  z  3 .
11. Berechnen Sie den Abstand d  d  A ,   des Punktes A  3,14, 6 zur Ebene
 : 4 x  2 y  3z  5  0 .
12. Ermitteln Sie den Abstand d  d  B, g  des Punktes B  0, 2,0 von der Geraden
g :  x , y , z   1, 2,3  t  0,1, 2  .
T
T
T
13. Welche Gerade g  IR 3 , die durch den Koordinatenursprung geht, schließt mit den
Ebenen 3x  4 y  0 , y  0 und z  0 gleiche Winkel ein. Wie groß ist der Winkel?