¨Ubungen zur Analysis III für Physiker

MATHEMATISCHES INSTITUT
DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN
WS 2006/7
Übungen zur Analysis III für Physiker
Prof. Dr. D. Dürr
Blatt 10
Aufgabe 1:
Es sei K der Körper der komplexen oder reellen Zahlen. Beweisen Sie, daß der l2 := {x =
1
P∞
P∞
2
2 2
(xk )k∈N :
|
x
|
<
∞,
x
∈
K,
k
∈
N}
mit
der
Norm
k
x
k
:=
(
|
x
|
)
k
k
2
k
k=1
k=1
vollständig ist.
Aufgabe 2:
Wendet man das Gram-Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren
R 1 auf die Folge der Monome (1, x, x2 . . .) in L2 ([−1, 1]) mit dem Skalarprodukt (f, g) = −1 f (x)g(x)λ(dx) an, so
erhält man die normierten Legendre-Polynome Pn , n ∈ N. Pn ist ein Polynom n − ten Grades. Berechnen Sie mit diesem Verfahren Pn für n = 0, 1, 2 und skizzieren Sie die Polynome.
Was bedeutet Orthogonalität von P0 und P1 graphisch?
Aufgabe 3:
1 2
Die sogenannten Hermiteschen Funktionen Ψn (x) = Cn e− 2 x Hn (x)
R ∞ bilden ein vollständiges
Orthonormalsystem in L2 (R) mit dem Skalarprodukt (f, g) = −∞ f (x)g(x)λ(dx). Dabei
2 dn
−x2
die Hermiteschen Polynome. Berechnen Sie für n = 0, 1, 2
sind Hn (x) = (−1)n ex dx
ne
die Polynome Hn (x) sowie die Normalisierungskonstanten Cn . Überzeugen Sie sich von der
Orthogonalität der Ψn . Bezüglich welchem Skalarprodukt sind die Hn orthogonal?
Hinweis: Benutzen Sie bei der Berechnung der Normierung die Formel:
d
−
dy
Z
(−yx2 )
e
Z
λ(dx) |y=1 =
2
x2 e−x λ(dx)
Bemerkung Die Hermiteschen Funktionen sind die quantenmechanischen Eigenzustände
des harmonischen Oszillators.
Aufgabe 4:
Es sei L2π
2 ([−π, π]) := {f : [−π, π] →
R πR : f ist f. ü. 2π-periodisch und f ∈ L2 ([−π, π])}
mit dem Skalarprodukt (f, g)π := π1 −π f (x)g(x)dx versehen. Dann bilden die Funktionen {fk }k∈N mit f0 (x) := √12 , f2n (x) := cos(nx) und f2n−1 := sin(nx) ein vollständiges
Orthonormalsystem in L2π
2 ([−π, π]).
(a) Bestimmen Sie die Fourierkoeffizienten der Funktion f (x) :=| sin x | (x ∈ R).
(b) Leiten Sie mit Hilfe der Parsevalschen Gleichung und Teil (a) die Beziehung
∞
X
n=1
1
π2 − 8
=
(4n2 − 1)2
16
her.
(c) Man zeige, daß die Fourierreihe gleichmässig gegen die Funktion f konvergiert.