¨Ubungen zur Vorlesung Mathematik I/1 (inkl. Lösungen)
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Institut für Wissenschaftliches Rechnen Prof. Dr. Jörg Wensch Dr. Ute Feldmann Wintersemester 2016/17 Übungen zur Vorlesung Mathematik I/1 (inkl. Lösungen) 8. Woche 1. Bilden die komplexen Zahlen einen reellen Vektorraum? Wenn ja, geben Sie die Dimension und eine Basis an. Finden Sie eine weitere Basis? Hinweis: Die Elemente des Vektorraums sind komplexe Zahlen, also müssen die Basisvektoren auch komplexe Zahlen (schließt reelle Zahlen ein) sein. Lösung Ja! dimreell C = 2, Basis: v1 = 1, v2 = i weitere Basis: v1 = 1 + i, v2 = 1 − i Check axiomatische Def.(reeller Vektorraum, VL 6/2/5): +:V ×V →V : z1 + z2 = z3 ·:R×V →V : α · z = αz (i)(+, V = C) ist eine kommutative Gruppe, s. VL 3/1/2 ∃ neutrales Element = 0 + 0i (ii) α(z1 + z2 ) = αz1 + αz2 (iii) (α + β)z = αz + βz (iv) α · (βz) = (α · β) · z (v) 1 · z = z ⇒ alle Forderungen der Def. erfüllt. 2. Geben Sie Dimension und eine Basis des Vektorraums der Polynome vom Höchstgrad 2 an. Was ist der Nullvektor? Finden Sie eine weitere Basis! Hinweis: Die Elemente des Vektorraums sind Polynome, also müssen die Basisvektoren auch Polynome sein. Lösung dim(Poly n ≤ 2) = 3, Basis: v1 = 0x2 + 0x + 1, v2 = 0x2 + 1x + 0, v3 = 1x2 + 0x + 0 weitere Basis: v1 = x2 + x + 1, v2 = x + 1, v3 = 1 ! ! 1 2 und v 2 = bilden eine Basis von R2 . Bestimmen Sie für den Vektor 3. Die Vektoren v 1 = 2 1 ! x v= die Faktoren α1 , α2 bei der Darstellung als Linearkombination der Basisvektoren. y ! 5 grafisch. Veranschaulichen Sie die Situation für v = 4 Lösung v =!α1 v1 + α2! v2 1 x + α2 = α1 2 y ! 2 = 1 1 2 2 1 ! α1 α2 ! α1 + 2α2 ·(−1) = 2α1 + α2 ·(2) α1 eliminiert: → 2x − y = (2 − 2)α1 + (4 − 1)α2 → α1 = α2 eliminiert: → 2y − x = (4 − 1)α1 + (2 − 2)α2 → α1 = für x = 5, y = 4 → α1 = 1, α2 = 2 1 2x−y 3 2y−x 3 ·(2) ·(−1) Zusatz Gegeben ist eine Abbildung f : R2 × R2 7→ R mit ! ! y1 x1 f (x, y) = f ( ) = ax1 y1 + bx1 y2 + bx2 y1 + cx2 y2 , y2 x2 mit a, b, c ∈ R Unter welchen Bedingungen (an die Koeffizienten a, b, c) ist diese Abbildung ein Skalarprodukt? Lösung VL 7/2/1: • Bilinear: mit ’Hingucken’ X • Symmetrisch: mit ’Hingucken’ X ! • Positiv definit: f (x, x) = ax21 + 2bx1 x2 + cx22 > 0 (∗) für x 6= 0: Wie man! leicht sieht, sind ! notwendige Bedingungen a, c > 0 (sonst wäre (∗) schon mit 0 x1 nicht erfüllt). bzw. = x= 0 x2 (∗) · a liefert: ⇔ a2 x21 + 2abx1 x2 + acx22 > 0 (ax1 + bx2 )2 + ac − b2 x22 > 0 ⇔ ac − b2 > 0 (1) | quadratische Ergänzung f ist ein Skalarprodukt genau dann, wenn a, c > 0 ∧ (ac − b2 ) > 0. 2 (2) (3)
