Blatt 3 – ¨Ubungen zur Physik IV SS 13 - Delta

Fakultät Physik, Technische Universität Dortmund
Prof. G. Hiller, Prof. T. Weis
Blatt 3 – Übungen zur Physik IV
SS 13
Abgabe bis Freitag, den 26. April 2013, 9:00 Uhr
Aufgabe 1: “Photoeffekt” (5 Punkte)
Licht der Wellenlänge λ = 300 nm und der Intensität 1 mW/m2 treffe auf eine Photokathode aus Natrium (Austrittsarbeit WA = 2.3 eV, Fläche 1 cm2 ).
a) Wie viele Photonen treffen durchschnittlich pro Sekunde auf der Kathode auf?
b) Berechnen Sie die Grenzwellenlänge für das Auftreten des Photoeffekts.
c) Welche Geschwindigkeit haben die schnellsten Elektronen, die die Kathode verlassen?
d) Berechnen Sie gemäß der klassischen Wellentheorie die Zeit, die vom Beginn
der Bestrahlung bis zum Einsetzen des Photoeffekts mindestens vergeht. Die
Welle werde von den ersten 10 Atomschichten gleichmäßig absorbiert, wobei in
jedem Atom jeweils nur ein Elektron kontinuierlich die Strahlung aufnimmt. Der
Abstand der Natriumatome betrage 0.37 nm. Vergleichen Sie das Ergebnis mit
den experimentellen Befunden.
Aufgabe 2: “Compton-Effekt” (5 Punkte)
In einem Experiment zum Compton-Effekt wird das gestreute Lichtquant unter einem
Winkel θ zur Einfallsrichtung beobachtet. Das streuende Elektron beschreibt nach dem
Stoß in einem Magnetfeld der Stärke B eine Kreisbahn mit dem Radius ρ. Leiten Sie
die Formel für die Wellenlängenänderung ∆λ aus der relativistischen Viererimpulserhaltung her. Welche Wellenlänge hat das einfallende Lichtquant in folgenden Fällen:
a) θ = 60◦ , ρ = 1.5 cm, B = 0.2 T.
b) θ = 90◦ , ρ = 2 cm, B = 0.3 T.
Aufgabe 3: “Skalarprodukte und orthogonale Polynome” (5 Punkte)
Eine Abbildung h.|.i, die zwei Vektoren aus einem Vektorraum H in den Raum der
komplexen Zahlen abbildet und die folgenden Eigenschaften besitzt,
hv|αu1 + u2 i = α hv|u1 i + hv|u2 i
hv|ui = hu|vi v, u ∈ H
hv|vi > 0, 0 6= v ∈ H
α ∈ C,
v, u1 , u2 ∈ H
(1)
(2)
(3)
heißt Skalarprodukt. Besitzt ein Vektorraum H ein Skalarprodukt, so kann man
durch die Definition
p
||v|| := hv|vi, v ∈ H
(4)
eine Norm festlegen. Die Norm beschreibt die Länge eines Vektors.
a) Gegeben seien nun zwei Funktionen (Vektoren) f (x) und g(x) aus dem Vektorraum der komplexwertigen und stetigen Funktionen auf dem Intervall [a, b].
Zeigen Sie, dass die Abbildung
Z b
f (x)g(x)ω(x)dx
(5)
hf |gi :=
a
alle Eigenschaften eines Skalarproduktes erfüllt. Für die Gewichtsfunktion ω(x)
soll ω(x) > 0 gelten.
b) Betrachten Sie die drei linear unabhängigen Polynome {1, x, x2 }. Orthogonalisieren Sie diese Polynome mit Hilfe des Gram-SchmidtschenOrthogonalisierungsverfahrens bezüglich des Skalarproduktes
Z ∞
2
f (x)g(x)e−x dx
(6)
hf |gi :=
−∞
c) Normieren Sie die berechneten Polynome und vergleichen Sie diese mit den
Hermite-Polynomen (s. Literatur).
Aufgabe 4: “Ungleichungen” (5 Punkte)
Gegeben sei ein Vektorraum H mit Skalarprodukt.
a) Beweisen Sie die Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung (CSU):
|hv|ui|2 ≤ hv|vi · hu|ui
für v, u ∈ H
(7)
b) Zeigen Sie mit Hilfe der CSU die Dreiecksungleichung:
kv + uk ≤ kvk + kuk
für v, u ∈ H
(8)
Hinweis zu a): Betrachten Sie die Ungleichung 0 ≤ hv − αu|v − αui und wählen Sie
das α ∈ C geschickt.