¨Ubungsblatt 8 für den 16. Juli 2010 Einführung in die Physikalische

Übungsblatt 8 für den 16. Juli 2010
Einführung in die Physikalische Chemie (PC 0)
Prof. Dr. Guido Germano
1. Berechnen Sie die de-Broglie-Wellenlänge eines Elektrons bei einer Geschwindigkeit
von 160 km/h und vergleichen Sie diese mit der de-Broglie-Wellenlänge eines Autos
der Masse 1450 kg bei der gleichen Geschwindigkeit.
2. (Atkins A8.2b) Welchen Impuls haben Photonen der Wellenlänge 350 nm? Wie
schnell muss ein Wasserstoffmolekül sein, damit es den gleichen Impuls hat?
3. (Atkins A8.4a) Wie groß ist die Energie pro Photon und die Energie pro Mol Photonen für Strahlung der Wellenlänge (a) 600 nm (rot), (b) 550 nm (gelb), (c) 400 nm
(blau), (d) 200 nm (ultraviolett), (e) 150 pm (Röntgenstrahlung), (f) 1,00 cm (Mikrowellen)?
4. (Atkins A8.5a) Auf welche Geschwindigkeit würde ein ruhendes Wasserstoffatom
durch die Absorption der Photonen aus der vorherigen Aufgabe jeweils beschleunigt?
5. (Frei nach Atkins A8.8a) Die Austrittsarbeit von metallischem Cäsium beträgt
2,14 eV. Welche der in Aufgabe 3. angegebenen Strahlungen sind in der Lage, Elektronen aus Cäsium herauszuschlagen, und wie groß sind Geschwindigkeit und kinetische Energie der Elektronen?
6. In der zeitunabhängigen Schrödingergleichung Ĥψ = Eψ ist die Wellenfunktion ψ
eine Eigenfunktion und die Energie E ein Eigenwert des Hamiltonoperators Ĥ.
(Atkins 8.15) Welche der folgenden Funktionen sind Eigenfunktionen des Impulsoperators p̂ = −i~d/dx und welchen Eigenwert haben sie? (a) eikx , (b) cos(kx), (c)
2
k, (d) kx, (e) e−ax .
7. Das Skalarprodukt in einem Vektorraum, das über das Feld der komplexen Zahlen C
definiert ist, besitzt die hermitesche Eigenschaft z1 · z2 = (z2 · z1 )∗ = z∗2 · z∗1 , die nach
dem Mathematiker Charles Hermite (19. Jahrhundert) benannt ist. Im Vektorraum
†
der komplexen n-Tupel ist das Skalarprodukt definiert als z1 · z2 = zT∗
1 z2 = z1 z2 =
P
n
∗
z1i
z2i . Bei Wellenfunktionen ist das Skalarprodukt definiert als ψ1 (r) · ψ2 (r) =
R i=1
∗
ψ1 (r)ψ2 (r) dr, wobei die Integration über den gesamten Definitionsbereich geht.
Ein Operator † heißt adjungiert zu Â, wenn ψ1 · Âψ2 = († ψ1 ) · ψ2 = (ψ2 · † ψ1 )∗ .
Durch eine Basis können Wellenfunktionen mit Tupeln und Operatoren mit Matrizen dargestellt werden. Für Tupel und Matrizen gilt A† = AT∗ = A∗T . Ein selbstadjungierter Operator † =  heißt auch hermitesch und hat reelle Eigenwerte.
In der Quantenmechanik sind die meisten Operatoren hermitesch.
(Frei nach Atkins A8.11a) Zeigen Sie, dass der Impulsoperator p̂ = −i~∂/∂r und
der Hamiltonoperator Ĥ = p̂2 /(2m) + V (r) hermitesch sind.
8. Das Betragsquadrat |ψ(r, t)|2 = ψ ∗ (r, t)ψ(r, t) der Wellenfunktion ψ(r, t) ∈ C entspricht der Wahrscheinlichkeitsdichte, ein Teilchen in Position r zur Zeit t zu finden;
das entspricht der Bornschen Interpretation (1926) und im Allgemeineren der Kopenhagener Deutung der Quantenmechanik von Bohr und Heisenberg. Das Integral
von |ψ(r, t)|2 über den gesamten Definitionsbereich, d.h. das Skalarprodukt der Wellenfunktion mit sich selbst, ψ(r, t) · ψ(r, t), muss daher gleich 1 sein. Bei stationären
Wellenfunktionen, die die zeitunabhängige Schrödingergleichung Ĥψ = Eψ lösen,
spielt die Abhängigkeit von der Zeit keine Rolle.
(Frei nach Atkins 8.13) Normieren Sie folgende Funktionen, d.h. multiplizieren Sie
sie mit einer Konstante, so dass das Ergebnis eine stationäre Wellenfunktion sein
kann: (a) sin(nπrx /L) im Intervall 0 ≤ rx ≤ L, n ∈ N; (b) eine Konstante im
−r/a
Intervall −L ≤ x ≤ L; (c) e√
im dreidimensionalen
Raum; (d) rx e−r/(2a) im
p 2
dreidimensionalen Raum (r = r · r = rx + ry2 + rz2 ).
9. Die Heisenbergsche Unschärferelation (1927) in der von Robertson (1929) verallgemeinerten Form
1
∆A∆B ≥ |C|
2
sagt, dass die Standardabweichungen ∆A = σA und ∆B = σB , mit der zwei Observablen A und B gleichzeitig gemessen werden, nicht beide beliebig klein sein können,
wenn die A und B entsprechenden Operatoren  und B̂ nicht vertauschen,
R ∗ d.h. wenn
ihr Kommutator [Â, B̂] = ÂB̂− B̂ Â = iĈ nicht Null ist. Es gilt A = ψ (r)Âψ(r) dr
R
und (∆A)2 = ψ ∗ (r)(Â − A)2 ψ(r) dr.
Zeigen Sie, dass für  = r̂x = rx (Ortsoperator) und B̂ = p̂x = −i~∂/∂rx (Impulsoperator) |C| = ~. Benutzen Sie dabei eine unbestimmte Hilfsfunktion f (rx ), d.h.
finden Sie Ĉ aus [Â, B̂]f (rx ) = iĈf (rx ).