Mathematik I
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TechnischeUniversität Ilmenau
Institut für Mathematik
Prof. Dr. Bernd Marx
WS 2008/09
FZT, MB, MTR, OTR
Mathematik I
Übungsserie 4 (10.11. - 14.11.2008)
1. Vektorraum R2
Betrachtet wird der Vektorraum R2 (mit den üblichen Operationen).
Welche der folgenden Mengen bilden einen Unterraum des R2 ?
Man gebe gegebenenfalls die Dimension und eine Basis an.
U1 := {(x, y) ∈ R2 | y = 3x + 4} ,
U2 := {(x, y) ∈ R2 | y = 2x oder y = 4x} ,
U3 := {(x, y) ∈ R2 | y = −2x} ,
U4 := {(x, y) ∈ R2 | y = 2x und y = 4x} .
2. Vektorraum P2 der Polynome vom Grad ≤ 2
Gegeben sind im Vektorraum P2 der Polynome vom Grad ≤ 2 die Polynome
p1 , p2 und p3 mit
p1 (x) = x2 + x + 1,
p2 (x) = x + 1,
p3 (x) = 1.
a) Man zeige, dass die Polynome p1 , p2 und p3 linear unabhängig sind.
b) Man begründe, dass (p1 , p2 , p3 ) eine Basis des Vektorraumes P2 ist.
c) Man stelle im Vektorraum P2 der Polynome vom Grad ≤ 2 das Polynom
p (x) = 3x2 + 10x + 5 als Linearkombination der Polynome p1 , p2 und p3 dar.
d) Man gebe für das Polynom p den Koordinatenvektor bezüglich der Basis
(p1 , p2 , p3 ) an.
3. Vektorraum R3
Gegeben sind die Vektoren a1 = (2, −3, 1)T , a2 = (4, 7, λ)T , a3 = (5, −1, λ)T des
R3 mit dem Parameter λ ∈ R.
a) Für welche reellen Zahlen λ sind die drei Vektoren linear unabhängig und für welche
λ linear abhängig?
b) Mit dem Wert λ = 1 ist (a1 , a2 , a3 ) eine Basis des R3 .
Man gebe vom Vektor v = e1 +5e2 +e3 = (1, 5, 1)T den Koordinatenvektor (r1 , r2 , r3 )T
bezüglich (a1 , a2 , a3 ) mit λ = 1 an.
Dabei ist e1 = (1, 0, 0)T , e2 = (0, 1, 0)T und e3 = (0, 0, 1)T .
4. Vollständige Induktion: Ü1, 2.2 d, 2.3 ab
Man beweise durch vollständige Induktion:
n
X
n+2
k
a)
=2− n .
k
2
2
k=1
Für welche natürlichen Zahlen n gilt (Beweis durch vollständige Induktion):
b) n! ≥ 3n ,
c) 2n > 2n + 1.
Man ermittle den Summenwert (vermuteter Wert ist durch vollständige Induktion zu
beweisen):
d)
n µ ¶
X
n
k
k=0
.
n µ ¶
X
n n−k k
5. Binomische Formel: (a + b) =
a b
k
k=0
n
a) Man bestimme das von x unabhängige Glied (das konstante Glied) des Binoms
µ
¶8
1
.
(∗)
x3 +
x
b) Welche Potenzen von x treten in (∗) auf? Man gebe die Exponenten von x an.
6. Beschränkte Mengen in R
Man bestimme von folgenden Mengen Maximum, Minimum, Supremum und Infimum,
falls diese Größen existieren:
½
¾
5
M1 = x ∈ R | x = 10 − , n ∈ N ,
n
½
¾
4
4
M3 = x ∈ R | x = 2 − + 2 , n ∈ N .
n n
2
½
M2 =
¾
5
x∈R|x=n+ , n∈N ,
n
