Lineare Algebra (für PhysikerInnen) WS 09/10
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KFU Graz
TU Graz
W. Schweiger
Lineare Algebra (für PhysikerInnen)
WS 09/10
Abschlussklausur, 9. Februar 2010 (1. Prüfungstermin)
Versuchen Sie die nachfolgenden Fragen (unter Verwendung der mathematischen
Schreibweise) so kurz und präzise wie möglich zu beantworten und keine Romane
zu schreiben!
Frage 1: Gegeben sei eine n × n-Matrix  = (aij ).
a) Wie ist die Determinante det(Â) allgemein definiert?
b) Erklären Sie den, in der Definition auftretenden Begriff der “Permutation” von n Elementen (eventuell an Hand eines Beispiels).
c) Nennen Sie ein Verfahren zur praktischen Berechnung von Determinanten für n > 3 und erklären Sie kurz, wie es funktioniert.
(6 Punkte)
Frage 2: (Â| ⃗b) sei die erweiterte Koeffizientenmatrix eines n-dimensionalen linearen Gleichungssystems.
a) Was sagt die Cramersche Regel über die Lösungen dieses Gleichungssystems?
b) Wenn das Gleichungssystem für eine bestimmtes ⃗b eine eindeutige
Lösung besitzt, ist es dann auch für beliebige ⃗b eindeutig lösbar? Geben
Sie eine Begründung für Ihre Antwort.
c) Welches Verfahren kennen Sie neben der Cramerschen Regel noch, um
lineare Gleichungssysteme zu lösen? Skizzieren Sie es kurz.
(6 Punkte)
Frage 3: Â = (aij ), B̂ = (bij ) und Ĉ = (cij ) seien reelle n × n-Matrizen.
a) Wie hängen die Matrixelemente cij mit aij und bij zusammen, wenn
Ĉ das Matrizenprodukt von  und B̂ ist, also Ĉ = ÂB̂?
b) Nennen Sie zumindest ein Kriterium für die Invertierbarkeit einer
n × n-Matrix Â.
c) Wie sehen die Matrixelemente von Â−1 = (ãij ) aus, wenn  invertierbar ist?
1
d) Wenn die Matrix
√
1/2
∗
1/ 2
∗
 = 1/2 −1/2
√
∗ 1/ 2
∗
eine orthogonale Matrix sein soll, wie müssen dann die fehlenden
Matrixelemente aussehen?
(10 Punkte)
Frage 4: (X, ⊕) sei ein K-Vektorraum.
a) Bezüglich der Vektoraddition ⊕ weist (X, ⊕) die algebraische Struktur
einer kommutativen Gruppe auf. Wie ist eine kommutative Gruppe
definiert?
b) Welche algebraische Struktur muss K aufweisen und welche Verknüpfungen sind in K erklärt?
c) Zwischen Elementen α ∈ K und Elementen a ∈ X ist eine Multiplikation ⊙ definiert, sodass α ⊙ a ∈ X. Welche Eigenschaften muss diese
Multiplikation noch aufweisen?
d) Nennen Sie ein Beispiel für einen Vektorraum, der verschieden von
Rn und Cn ist und beschreiben Sie kurz, wie die darin auftretenden
Vektoraddition definiert ist.
(10 Punkte)
Frage 5: (X, ⊕) sei ein K-Vektorraum.
a) Wann spricht man davon, dass n Elemente ai ∈ X, i = 1, . . . , n, voneinander linear unabhängig sind?
b) Wann stellen n Elemente ai ∈ X, i = 1, . . . , n, eine Basis von X dar?
c) Die 3 Elemente a1 , a2 und a3 aus X seien nun linear unabhängig. Sind
dann auch die 3 Elemente a1 + a2 + a3 , a1 + a2 und a2 + a3 linear
unabhängig?
d) Es sei nun in X auch noch ein Skalarprodukt (a, b) erklärt. Wann ist
in diesem Fall eine Basis {a1 , a2 , . . . an } eine Orthonormalbasis?
e) Wie sehen für ein beliebiges Element f ∈ X die Koeffizienten αi ∈ K
aus, wenn man dieses Element auf eine Ortnonormalbasis {a1 , a2 , . . . an }
aufspannt
n
∑
αi ai ?
f=
i=1
(10 Punkte)
2
Frage 6: Durch eine reelle n × n Matrix  sei über
φA :
Rn → Rn
⃗v 7→ φA (⃗v ) = Â⃗v
eine lineare Abbildung des Rn in sich selbst definiert.
a) Wie ist der Kern von φA definiert?
b) Wie ist das Bild von φA definiert?
c) Es sei r ≤ n der Rang der Matrix Â. Wie groß ist die Dimension des
Kerns, wie groß ist die Dimension des Bildes von φA ?
d) Â sei eine invertierbare Matrix. Wie groß ist dann die Dimension des
Kerns von φA und warum?
e) B = (⃗b1 , ⃗b2 , . . . , ⃗bn ) sei eine beliebige geordnete Basis des Rn . Wie
hängt die Darstellungsmatrix B M̂φA B von φA bezüglich der Basis B
mit  zusammen?
f) Wie sieht die Eigenwertgleichung für die Matrix  aus und wie berechnet man Eigenvektoren und Eigenwerte?
g) λ = 0 sei einer der Eigenwerte der Matrix Â. Ist  dann invertierbar?
Begründen Sie Ihre Antwort.
h) Wann ist eine Matrix  diagonalisierbar?
(18 Punkte)
3
