Aufgabe 1. (10 Punkte) Geben Sie eine Basis B des R 3 an, so dass

Aufgabe 1. (10 Punkte) Geben Sie eine Basis B des R3 an, so dass die bezüglich der
Standardbasis durch die Abbildungsmatrix


6
7 −5
2 
A =  −2 −2
1
1
0
gegebene Abbildung, eine Jordansche Normalform besitzt.
Aufgabe 2. (5 Punkte) Geben Sie alle möglichen Minimalpolynome einer linearen Abbildung ϕ : Q4 → Q4 mit charakteristischem Polynom det(ϕ − t · idQ4 ) = f (t) = (t − 2)4
an. Geben Sie zu jedem möglichen Minimalpolynom p(t) alle Jordanschen Normalformen
von linearen Abbildungen ϕ : Q4 → Q4 mit Minimalpolynom p(t) und charakteristischem
Polynom f (t) an!
Hier ist keine Begründung erforderlich!
Aufgabe 3. (10 Punkte) Bestimmen Sie die Potenz A1000 für die Matrix
7
4
A=
∈ Mat(2 × 2, C) .
−9 −5
Aufgabe 4. (6 Punkte) Wir betrachten die symmetrische Matrix


a 1 1
Aa =  1 a 1  ∈ Mat(3 × 3, R) .
1 1 a
(i) Geben Sie alle reellen Zahlen a an, für die Aa positiv definit ist!.
(ii) Für welche a ∈ R ist die Matrix Aa diagonalisierbar?
Aufgabe 5. (4 Punkte) Zeigen Sie, dass die Matrix


2 −1 −2
1
2 −2 
S =  −1
3
−2 −2 −1
eine Spiegelung des euklidischen Vektorraumes E3 beschreibt.
Aufgabe 6. (7 Punkte) Für eine natürliche Zahl n sei V = C[X]n der komplexe Vektorraum der Polynome vom Grad ≤ n. Ferner betrachten wir (n + 1) komplexe Zahlen
{λk }k=0,...,n mit λk 6= λm für k < m. Wir betrachten die Sesquilinearform
n
X
f (λk )g(λk ) .
s : V × V → C (f (t), g(t)) 7→
k=0
Zeigen Sie, dass s eine positiv definite hermitesche Form ist.
Aufgabe 7. (7 Punkte) Wir betrachten den reellen Vektorraum V = Mat(2 × 2, R).
Zeigen Sie, dass es eine lineare Abbildung M : V ⊗R V → V mit M(A ⊗ B) = A · B gibt.
Ferner betrachten wir die lineare Abbildung Φ : V ⊗R V → Sym2R (V ) mit ϕ(v1 ⊗ v2 ) =
v1 ∨ v2 . Gibt es eine lineare Abbildung M̄ : Sym2R (V ) → V , so dass M = M̄ ◦ Φ gilt?
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