Klausur Mathematik für BBL, BBWL und BINA Teil 1: Lineare
Werbung
Matrikel-Nummer A1 A2 A3 A4 A5 ∑ A6 Note Klausur Mathematik für BBL, BBWL und BINA Teil 1: Lineare Algebra und Optimierung Mittwoch, 19. Februar 2014, 08.00 – 10.00 Uhr Hinweis: Alle Ausarbeitungen müssen nachvollziehbar, die Ergebnisse klar ersichtlich sein. Aussagen sind zu begründen. 1. Aufgabe 1 0 1 Gegeben sind die Matrix A = 1 1 −1 3 −2 5 und der Vektor b = −3 . a 0 a) Weisen Sie nach, dass das lineare Gleichungssystem Ax = b für alle reellen Zahlen a höchstens eine Lösung besitzt. b) Bestimmen Sie für a = 0 eine Lösung des linearen Gleichungssystems Ax = b. Kann für a = 0 der Vektor b als konvexe Linearkombination der Spaltenvektoren der Matrix A dargestellt werden ? c) Für welche reellen Zahlen a besitzt das homogene lineare Gleichungssystem Ax = 0 nichttriviale Lösungen ? 2. Aufgabe 1 1 Gegeben sind die Matrizen A = 1 1 1 2 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 und D = 1 0 0 1 0 0 0 0 d 0 a) Für welche reellen Zahlen d gilt det (A) = det (D) ? b) Ist A⊤ eine singuläre Matrix ? c) Für welche reellen Zahlen d gilt r(D) = 3 ? d) Bestimmen Sie für d = 2 die Inverse der Matrix D . e) Ist die Matrix C = AD für d = 2014 regulär ? 3. Aufgabe Können vier Vektoren aus dem Vektorraum R3 linear unabhängig sein ? 0 0 . 0 d 4. Aufgabe Gegeben ist die Matrizengleichung (A + B) X = B + A⊤ X . a) Ist die Matrizengleichung für eine Matrix A mit 20 Zeilen und 14 Spalten sinnvoll ? b) A und B seien Matrizen mit n Zeilen und n Spalten. Ist die Matrizengleichung lösbar, falls A eine symmetrische Matrix und B nicht invertierbar ist ? c) Berechnen 7 0 A= 0 Sie eine Lösung X der Matrizengleichung für die Matrizen 1 1 1 0 1 7 1 und B = 1 0 0 . 0 7 1 0 1 5. Aufgabe Bestimmen Sie die Menge aller Optimallösungen der linearen Optimierungsaufgabe z = 9x1 − 3x2 → max 0 ≤ 3x1 − x2 ≤ x1 − 2x2 ≤ x2 ≥ 12 1 1 mit Hilfe der graphischen Darstellung. 6. Aufgabe Bestimmen Sie für die lineare Optimierungsaufgabe z = 2x1 − x2 + 4x3 − 4x4 → min 4x1 + x2 + 2x3 + 2x4 = 8 3x1 − 2x3 + x4 ≤ 2 x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0 eine Optimallösung mit Hilfe der Simplexmethode. Ist die ermittelte Optimallösung die einzige Optimallösung ?
