Klausur Mathematik für BBL, BBWL, BWL und BINA Teil 1: Lineare
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Matrikel-Nummer A1 A2 A3 A4 A5 P Note Klausur Mathematik für BBL, BBWL, BWL und BINA Teil 1: Lineare Algebra und Optimierung Dienstag, 16. Februar 2010, 08.00 - 10.00 Uhr Hinweis: Alle Ausarbeitungen müssen nachvollziehbar, die Ergebnisse klar ersichtlich sein. Aussagen sind zu begründen. 1. Aufgabe Gegeben sei das lineare Gleichungssystem ax1 + 2x2 = 8 3x1 − x2 − x3 = b − x1 + 2x2 + x3 = 0 mit reellen Parametern a und b . a) Für welche Parameterpaare (a, b) ist das lineare Gleichungssystem unlösbar ? b) Es sei b = 4. Geben Sie in Abhängigkeit vom Parameter a die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems an. c) Für welche Parameter a hängt die Lösbarkeit des linearen Gleichungssystems vom Parameter b ab ? d) Für welche Parameter a besitzt das zugehörige homogene lineare Gleichungssystem nichttriviale Lösungen ? 2. Aufgabe 0 b 1 a 0 0 Gegeben seien die Matrizen C = a a b und D = 0 b 0 , 1 a 0 0 0 a wobei a und b reelle Zahlen sind. a) Weisen Sie nach, dass die Matrix C für a > 1 stets regulär ist. b) Weisen Sie nach, dass die Matrix C für a < 0 stets invertierbar ist. c) Es sei b = 0. Für welche Zahlen a ist die Matrix C > singulär ? d) Für welche Zahlenpaare (a, b) gilt r(D) = 2 ? e) Bestimmen Sie die Eigenwerte der Matrix D. f) Berechnen Sie die Determinante der Matrix F = abDD . 3. Aufgabe Gegeben seien zwei Matrizengleichungen AX = AA> und Y A = AA> , wobei A eine quadratische Matrix ist. a) Begründen Sie, weshalb beide Matrizengleichungen bei gegebener regulärer Matrix A eindeutig lösbar sind. Geben Sie diese Lösungen an. b) Welche der beiden Matrizengleichungen ist auch bei gegebener singulärer Matrix A stets lösbar ? µ ¶ 2 1 c) Berechnen Sie eine Lösung der Matrizengleichung W A = W + A für A = . 1 3 4. Aufgabe Gegeben ist die lineare Optimierungsaufgabe z = c 1 x1 + x2 2x1 − 3x2 x1 + x2 x2 x1 , x 2 → max ≤ 12 ≤ 7 ≤ 5 ≥ 0 a) Bestimmen Sie mit Hilfe der graphischen Darstellung die Optimallösung der Aufgabe für den Fall c1 = 2 . b) Wie ist c1 zu wählen, damit (x1 , x2 ) = (0 , 5) eine von unendlich vielen Optimallösungen der Aufgabe ist ? Geben Sie dafür die Menge aller Optimallösungen und den optimalen Zielfunktionswert an. 5. Aufgabe Bestimmen Sie eine Optimallösung der linearen Optimierungsaufgabe z = − 2x1 + x2 x1 − 2x2 − x3 x1 − x2 + x3 x1 , x 2 , x 3 → min = 2 ≤ 4 ≥ 0 mit dem Zwei-Phasen-Simplex-Algorithmus. Ist die ermittelte Optimallösung eindeutig bestimmt ?
