Aufgabe 1 (10 Punkte) Stellen Sie den größten gemeinsamen Teiler

Aufgabe 1 (10 Punkte) Stellen Sie den größten gemeinsamen Teiler g der Zahlen
m = 111 und n = 30 in der Form g = a · m + b · n mit a, b ∈ Z dar!
Dabei sollte erkennbar sein, wie Sie Ihrer Lösung fanden.
Aufgabe 2 (6 Punkte) Wir betrachten das folgende lineare reelle Gleichungssystem:


x
1





3
1 0 0
3 4 
 x2 
 0 1 0 −2 2   x3  =  7  .


11
0 0 1
3 6  x4 
x5
Geben Sie die vollständige Lösungsmenge des Gleichungssystems an! Keine Begründung
erforderlich!
Aufgabe 3 (16 Punkte) Sei U ⊂ S4 eine Untergruppe der S4 mit acht Elementen.
(a) (3 Punkte) Besitzt U ein Element u mit der Eigenschaft, dass sgn(u) = 1 gilt?
(b) (13 Punkte) Besitzt U ein Element u mit der Eigenschaft, dass sgn(u) = −1 gilt?
Begründen Sie Ihre Antworten!
Aufgabe 4 (20 Punkte) Sei V der Vektorraum der Polynome f (X) mit reellen Koeffizienten vom Grad höchstens drei mit der Eigenschaft f (1) = 0. W sei der Vektorraum
der Polynome vom Grad höchstens zwei, also
V = {f (X) ∈ R[X] | deg(f ) ≤ 3 und f (1) = 0}
W = {f (X) ∈ R[X] | deg(f ) ≤ 2} .
Welchen Rang hat die lineare Abbildung ϕ : V → W , die jedem Polynom f (X) seine
Ableitung f ′ (X) zuordnet? Begründen Sie Ihre Antwort!
Aufgabe 5 (10 Punkte) Invertieren Sie die Matrix


1 2 2
A =  2 1 2  ∈ Mat(3 × 3, C) .
2 2 3
Dabei sollte erkennbar sein, wie Sie auf die inverse Matrix A−1 gekommen sind!
Aufgabe 6 (8 Punkte)
(a) (6 Punkte) Berechnen Sie die Determinante der Matrix A ∈ Mat(4 × 4, Q) mit


5 1 3 11
 1 1 21 1 

A=
 0 0 2 1 .
0 0 1 2
(b) (2 Punkt) Ist die Matrix A invertierbar? Begründen Sie Ihre Antwort.
Aufgabe 7 (20 Punkte) Zeigen
Sie, dass die Abbildung, die einer komplexen Zahl z
Re(z) −Im(z)
die Matrix
zuordnet, einen Gruppenhomomorphismus C∗ → GL2 (R)
Im(z)
Re(z)
definiert. Dabei bezeichnet Re(z) den Realteil und Im(z) den Imaginärteil von z.