Multiple-Choice-Teil - IWR Heidelberg

Übungen zur Linearen Algebra 1 — Blatt 12 (Klausurvorbereitung)
Prof. Dr. K. Wingberg, Dr. D. Vogel
Dr. A. Maurischat, Dr. D. Izychev
Wintersemester 2012/13,
Abgabe: nie, 9.00 Uhr
Dieses Blatt dient ausschließlich der Klausurvorbereitung und wird nicht abgegeben. In Form
und Umfang entspricht dieses Blatt der Klausur, d.h. auch in der Klausur wird es 20 MultipleChoice-Fragen (MC) geben und 5 Aufgaben im Aufgabenteil (AT).
Pro MC-Frage gibt es einen Punkt, wenn komplett richtig angekreuzt wurde, und keinen Punkt,
wenn nicht komplett richtig angekreuzt wurde.
Der Aufgabenteil sollte ungefähr doppelt so viel Zeit in Anspruch nehmen wie der MultipleChoice-Teil (bei einer Klausurdauer von 120min also 80min AT und 40min MC).
Die Aufgaben in der Klausur dürften insgesamt etwas einfacher sein, als die auf diesem Vorbereitungsblatt. (Es ist als Dozent/Assistent aber immer schwierig einzuschätzen, was den Studenten
einfacher erscheint.)
Multiple-Choice-Teil:
(es können jeweils 0-3 Antworten richtig sein)
Wenn nicht genauer spezifiziert, bezeichnet K einen beliebigen Körper.
1.) Sei f : X → Y eine Mengenabbildung. Welche der folgenden Aussagen bedeuten, dass f
injektiv ist (#M bezeichnet die Mächtigkeit einer Menge M ) :
#f ({x}) = 1 für alle x ∈ X
#f −1 ({y}) ≤ 1 für alle y ∈ Y
es gibt ein y ∈ Y so dass f −1 ({y}) = 1
f
g
2.) Seien Z −→ Y −→ Z Abbildungen von Mengen. Die Eigenschaft g ◦ f = idZ impliziert dann
f ist surjektiv
g ist bijektiv
3.) Die Abbildung R → R, x 7→ x2 , ist
surjektiv, aber nicht injektiv
injektiv, aber nicht surjektiv
weder surjektiv, noch injektiv.
4.) Wie viele Abbildungen f : {1, 2, 3} → {1, 2} gibt es?
6
8
9
5.) Sei n ≥ 1. Dann besteht Rn aus
n reellen Zahlen
n-Tupeln reeller Zahlen
n Vektoren
f ist injektiv
6.) Welche der folgenden Aussagen sind richtig: Ist V ein K-Vektorraum, so ist
{x + y | x ∈ V, y ∈ V } = V
{x + y | x ∈ V, y ∈ V } = V × V
{λx | λ ∈ K, x ∈ V } = K × V
7.) Welche der folgenden Teilmengen von Q2 sind lineare Teilräume?
{(x1 , x2 ) ∈ Q2 | x1 = 1}
{(x1 , x2 ) ∈ Q2 | x1 = (1 + x2 ) · 2}
{(x1 , x2 ) ∈ Q2 | x1 · x2 = 0}
8.) Sei V ein Vektorraum und v1 , . . . , vn ∈ V mit Lin({v1 , . . . , vn }) = V . Welche Aussagen
gelten dann:
Jede Linearkombination λ1 v1 + · · · + λn vn ist Element von V
Jedes Element von V ist Linearkombination λ1 v1 + · · · + λn vn .
Die Dimension von V ist n.
9.) Es seien die Permutationen σ = ( 12 23 31 ) und ρ = ( 13 22 31 ) ∈ S3 gegeben. Welche Permutation
ist dann σρ:
( 12 21 33 )
( 11 23 32 )
( 13 22 31 )
10.) Unter dem Kern einer linearen Abbildung f : V → W versteht man
{w ∈ W | f (0) = w}
{f (v) | v = 0}
{v ∈ V | f (v) = 0}
11.) Sei f : K 3 → K 4 eine lineare Abbildung. Welche Eigenschaften erfüllt f mit Sicherheit
nicht?
Surjektivität
Injektivität
Bijektivität
12.) Welche Eigenschaften einer Äquivalenzrelation erfüllt die Relation ∼ auf Z, die definiert
ist durch a ∼ b :⇔ a ≤ b?
Reflexivität
Symmetrie
Transitivität
1 2
∈ Mn (R)
3 4
bezüglich der Basis ( 01 ) , ( 10 ) aus?
3
1
13.) Es sei f : R2 → R2 bezüglich der kanonischen Basis durch die Matrix
gegeben. Wie sieht die Koordinatenmatrix von f
3 4
2 4
4
1 2
1 3
2
14.) Was ist die Dimension des K-Vektorraums Mn (K)?
n2
n
n3
15.) Seien V und W zwei dreidimensionale Vektorräume mit Basen B = (v1 , v2 , v3 ) und C =
(w1 , w2 , w3 ) und sei f : V → W die lineare Abbildung mit f (vi ) = wi , i = 1, 2, 3. Dann ist
die Koordinatenmatrix von f bezüglich der Basen B und C gegeben durch






1 0 0
1 1 1
0 0 1
 0 1 0 
 1 1 1 
 0 1 0 
0 0 1
1 1 1
1 0 0
16.) Sei A ∈ M2,3 (K) und B ∈ M2,3 (K). Dann ist A + B in
M2,3 (K)
M4,6 (K)

5
17.) Der Rang der reellen Matrix  5
5
1
3
5
5
5
M4,9 (K)

5
5  ist
5
5
18.) Sei K = Z/7Z. Die Eigenwerte der Matrix
2; 4
2; 6
2
0
4
6
∈ M2 (K) in K sind
0; 6
19.) Welche Eigenschaften gelten für das charakteristische Polynom χA (X) einer Matrix A ∈ Mn (K)?
grad(χA ) = n
χA (0) = det(A)
χA = 0 ⇔ A = 0
20.) Sei f : V → V ein Endomorphismus mit f 2 = idV . Welche Aussagen lassen sich dann über
das Minimalpolynom µf (X) von f treffen?
µf (X) = X 2 − 1
µf (X) teilt X 2 − 1
X 2 − 1 teilt µf (X)
Aufgabenteil:
1. Aufgabe:
Es sei (G, ·) eine Gruppe mit neutralem Element e ∈ G und für alle g ∈ G gelte g · g = e.
(a) Zeigen Sie, dass (a · b)−1 = a−1 · b−1 für alle a, b ∈ G gilt.
(b) Zeigen Sie, dass G eine abelsche Gruppe ist.
2. Aufgabe:
Für λ ∈ R betrachten wir die reelle Matrix

1
 λ
A=
 0
0
λ
1
λ
0
0
0
1
λ

0
0 
.
0 
1
(a) Bestimmen Sie alle λ ∈ R, für welche die Matrix A invertierbar ist.
(b) Bestimmen Sie für alle λ ∈ R den Rang der Matrix A (in Abhängigkeit von λ).
3. Aufgabe:
Im R3 betrachten wir die Teilräume
1 −1 U = Lin({ 0 , 0 })
1
1
und V = Lin({
0 0
1 , 2 }).
0
0
(a) Bestimmen Sie die Dimensionen von U und V .
(b) Zeigen Sie, dass R3 = U ⊕ V gilt.
4. Aufgabe:
Es sei der Endomorphismus f : R3 → R3 , x 7→ A · x mit


1 0 0
A = −2 0 −1 ∈ M3 (R)
4 2 3
gegeben.
(a) Berechnen Sie das charakteristische Polynom von f .
(b) Bestimmen Sie alle Eigenwerte von f .
(c) Bestimmen Sie, ob f diagonalisierbar ist.
5. Aufgabe:
Es seien K ein Körper, V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und f ∈ Aut(V ) ein Automorphismus von V . Weiter sei B = (b1 , . . . , bn ) eine Basis von V und A ∈ Mn (K) die Koordinatenmatrix
von f bezüglich B.
(a) Zeigen Sie, dass C := (f (b1 ), . . . , f (bn )) auch eine Basis von V ist.
(b) Zeigen Sie, dass die Übergangsmatrix von der Basis B in die Basis C genau die Matrix A
ist.
(c) Zeigen Sie, dass die Koordinatenmatrix von f bezüglich der Basis C ebenfalls durch die
Matrix A gegeben ist.
Die Übungsblätter sowie weitere Informationen zur Vorlesung Lineare Algebra 1 finden Sie unter
http://www.iwr.uni-heidelberg.de/~Andreas.Maurischat/la1-ws2012