technische universit ¨at m ¨unchen

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Zentrum Mathematik
P ROF. D R .D R . J ÜRGEN R ICHTER -G EBERT, D R . H ERMANN VOGEL , P ETER L EBMEIR
Lineare Algebra und analytische Geometrie 1, Mathematik für Physiker 1 (WS 2005/06)
— Aufgabenblatt 13 (06. Februar 2006) —
— Zentrale Präsenzaufgaben —
Z 101. Berechnen 
Sie das charakteristische
Polynom,
die Eigenwerte und die Eigenvektoren, der reellen Matrizen


7 2 −10
−15 −8 31
A := 4 3 −8  und B :=  −6 −4 14.
5 2 −8
−9 −5 19
Z 102.Seien y := (y1 , y2 ) und
:= (z1 , z2 ) zwei
Punkte aus R2 . Zeigen Sie: Die Gerade
z

 verschiedene
x1 x2 1


gyz = x = (x1 , x2 ) ∈ R2 det  y1 y2 1 = 0 verbindet y mit z.


z 1 z2 1
— Multiple choice - Aufgaben —
M 103. Sei A ∈ R3×3 eine Matrix mit reellen Einträgen.
mindestens möglicherweise höchstens
A hat
2
2
2
einen reellen Eigenwert.
A hat
2
2
2
zwei verschiedene reelle Eigenwerte.
A hat
2
2
2
drei verschiedene reelle Eigenwerte.
A hat
2
2
2
vier verschiedene reelle Eigenwerte.
— Präsenzaufgaben —

2−λ
2
−1
1−λ
1  ∈ R3×3 invertierbar und wie hängt diese Matrix
P 104. Für welche λ ∈ R ist die Matrix  2
2
−1 5 − λ
mit dem charakteristischen Polynom χA (λ) zusammen?

P 105. Eine alte Klausuraufgabe
Sei M die Menge aller reeller invertierbarer 3x3-Matrizen A mit det(A) = 1 oder det(A) = −1, also
M = {A ∈ R3×3 | |det(A)| = 1}.
1. Zeigen Sie, dass (M, ·) eine Gruppe ist, wobei ·“die Multiplikation von Matrizen ist. Benutzen Sie die Eigen”
schaften der Multiplikation von Matrizen sowie die Rechenregeln für Determinanten.
2. Zeigen Sie, dass {−1, +1} eine Untergruppe von (R \ {0}, ·) ist.
3. Zeigen Sie, dass die Abbildung
det : M → {−1, +1}
ein Gruppenhomomorphismus ist.
— Informationen —
• Bitte Studentenausweis und amtlichen Lichtbildausweis zur Klausur mitbringen!