Online-Test 2 - D-MATH

D-ITET. D-MATL, RW
Dr. V. Gradinaru
D. Devaud
Lineare Algebra
HS 15
Online-Test 2
Einsendeschluss: Mittwoch, den 23.12.2015 18:00 Uhr
Dieser Test dient, seriös bearbeitet, als Repetition des bisherigen Vorlesungsstoffes und als Übung für die Prüfung. Es werden auch Lösungen veröffentlicht
werden.
1. Lösen Sie von Hand folgendes Ausgleichsproblem mit der QR-Zerlegung:
x1
√
− 1
− 3
− 4
+ x2
x2
x2
=
=
=
r1
r2
r3 .
Schreiben Sie dazu das Problem in der Form Ax − c = r, bestimmen Sie die
QR-Zerlegung A = QR mit Hilfe einer geeigneten Givens-Rotation sowie den
Vektor d = Q> c, und bestimmen Sie schliesslich die Lösung x ∈ R2 des Ausgleichsproblems.
−5 √ 2
2
(a) x = 7 ,
(c) x =
,
3
2
−3 −1
(b) x = 21 ,
√
(d)
x
=
.
2
2




1 1
1
0
0
>
sin ϕ 
Für A = 0 1 wählen wir die Givens-Rotation Q> = U23
= 0 cos ϕ
0 1
0 − sin ϕ
cos ϕ


1 √1
mit sin ϕ = √12 und cos ϕ = √12 . Wir erhalten Q> A = 0
2 = R. Mit
0 0
 


1√
1
c = 3 wird d = Q> c = 7/√2. Schliesslich löst man R0 x = d0 durch
4
1/ 2
−5 Rückwärtseinsetzen und erhält x = 27 . Dabei sind R0 und d0 die ersten zwei
Zeilen von R und d.
2
2. Ist A eine diagonalisierbare Matrix mit n verschiedenen Eigenwerten λ1 , λ2 , . . . , λn ,
so gilt
det(A) = λ1 · λ2 · · · λn .
1
√
(a)
(b)
Richtig.
Falsch.
Da A diagonalisierbar ist, gibt es Matrizen T , D, so dass A = T DT −1 , wobei
D = diag (λ1 , λ2 , . . . , λn ).
det(A) = det(T DT −1 ) = det(T ) det(D) det(T −1 ) = det(D),
also stimmt die Aussage.
3. Sei die Matrix

−3
A= 2
0
2
1
0

0
0 .
7
Dann sind alle Eigenwerte von A reell.
√
(a)
(b)
Richtig.
Falsch.
Da A symmetrisch ist, folgt die Behauptung aus Satz 7.7.
4. Es gibt orthogonale Matrizen, die singulär sind.
(a)
√
Richtig
(b)
Falsch
Eine orthogonale Matrix A besitzt immer die Inverse AT , da per Definition
A A = I gilt und (für quadratische Matrizen) aus BA = I immer B = A−1
folgt.
T
5. Ist x ein Eigenvektor von A, dann ist x auch ein Eigenvektor von A2 .
√
(a)
(b)
Richtig.
Falsch.
Es gilt
A2 x = A(Ax) = A(λx) = λ(Ax) = λ2 x,
also ist x auch Eigenvektor von A2 .
2
6. Welche der folgenden Matrizen



0
1 2
0
0 3 , A2 = 1
A1 = −1
−2 −3 0
2
1
0
3

2
3 ,
0

0
A3 = 1
1
2
1
3

0
−1 ,
−1
sind diagonalisierbar?
√
√
(a)
A1
(c)
A3
(b)
A2
(d)
Keine.
Wir berechnen die Eigenwerte von A1 :
!
0 = det(A1 − λI) = −λ(λ2 + 9) + 1(−λ + 6) − 2(3 + 2λ)
= −λ3 − 9λ + (−λ) + 6 − 6 − 4λ) = −λ3 − 14λ = −λ(λ2 + 14)
√
√
Wir erhalten: λ1 = 0, λ2 = 14i, λ3 = − 14i. Damit hat jeder Eigenwert die
algebraische Vielfachheit 1. Die Matrix ist also einfach und damit diagonalisierbar.
Die Matrix A2 ist reell und symmetrisch. Nach Satz 7.8 i) ist A2 diagonalisierbar.
Wir berechnen die Eigenwerte von A3 :
!
0 = det(A3 − λI) = −λ ((1 − λ)(−1 − λ) + 3) − 1 · 2(−1 − λ) + 1(−2)
= λ − λ3 − 3λ + 2 + 2λ − 2 = −λ3
Wir erhalten: λ1 = λ2 = λ3 = 0, also ist 0 ein Eigenwert mit algebraischer
Vielfachheit 3.
Um zu sehen, ob die geometrische Vielfachheit mit der algebraischen übereinstimmt, berechnen wir die Eigenvektoren:
0 0
1
1 1
2
1
3
0
−1
−1
(E)1
→
1
1
0
0
1
2
2
−1
0
0
(E)2
→
1
0
0
1 −1
2
0
0
0
⇒ x3 freier Parameter, x2 = 0, x1 = x3
Also ist die geometrische Vielfachheit 1 und die Matrix damit nicht diagonalisierbar.
3
7. Gegeben seien die Fehlergleichungen
Ax − c = r
mit
A ∈ R4×3 , RangA = 2.
Dann haben die Normalgleichungen
AT Ax = AT c
eine eindeutige Lösung.
√
(a)
Richtig.
(b)
Falsch.
Die Normalgleichungen haben eine eindeutige Lösung, falls die Matrix A
maximalen Spaltenrang hat, also in diesem Fall RangA = 3. Es gilt jedoch
RangA = 2.
2
1
,
den Koordinaten3
−1
vektor [−1, 2]T . Der Koordinatenvektor bezüglich der Standardbasis ist:
8. Ein Vektor habe bezüglich der Basis B :=
(a)
[ 32 , 0]T
(b)
[−1, 2]T
√
(c)
[0, −5]T
(d)
[−2, 0]T
Wenn Basisvektoren b(1) , ..., b(n) im Rn und Koordinatenvektor [k1 , ..., kn ]T
eines Vektors k gegeben sind, so bedeutet das, dass
k = k1 b(1) + ... + kn b(n) .
2
1
Hier sind wir im R und haben als Basis die beiden Vektoren
,
.
3
−1
Der Vektor mit Koordinaten [−1, 2]T bezüglich dieser Basis ist also
2
1
0
−1
+2
=
,
3
−1
−5
2
hat also bezüglich der Standardbasis die Koordinaten [0, −5]T .
9. Wir betrachten eine Singulärwertzerlegung A = U SV T der Matrix
3 1 1
A=
.
−1 3 1
Die Matrix S ist dann gegeben durch:
4
√
(a)
(b)
5 0 0
S=
,
0 0 0
√

5 0
S =  0 0,
0 0
√
√
(c)
12
0
S=
0
√0
,
10 0
√
(d)

12 √0
S= 0
10.
0
0
Wir haben A ∈ R2×3 und da m < n, erhalten wir S = [Ŝ | 0] mit Ŝ =
diag (s1 , s2 ), wobei s2i die Eigenwerte von AAT sind. Wir berechnen die Eigenwerte von AAT :
11 − λ
1
!
T
0 = det(AA − λI) = det
1
11 − λ
=(11 − λ)2 − 1 = λ2 − 22λ + 120
=(λ − 10)(λ − 12).
Wir erhalten λ1 = 12 und λ2 = 10 und es folgt
√
12 √0
0
S=
.
10 0
0
√
√
√
√
10. Wir betrachten Rn mit Standardskalarprodukt und 2-Norm. Es sei A eine
reelle n × n –Matrix. Welche der folgenden Aussagen sind korrekt?
(a) Für alle Vektoren x, y ∈ Rn gilt x, AT y = (A x, y).
(b)
Wenn gilt AT = A−1 , dann folgt (A x, A y) = (x, y) für alle Vektoren
x, y ∈ Rn .
(c)
Wenn gilt AT = A−1 , dann folgt kA xk = kxk für alle Vektoren x ∈ Rn .
(d)
Es sei B eine weitere reelle n × n –Matrix. Wenn gilt AT = A−1 und B T =
B −1 , dann hat das Produkt AB eine Inverse und es gilt (AB)−1 = (AB)T .
• Es gilt: (x, AT y) = xT AT y = (Ax)T y = (Ax, y).
• (Ax, Ay) = (Ax)T Ay = xT AT Ay = xT A−1 Ay = xT y = (x, y).
p
p
• Es gilt kAxk = (Ax, Ax) = (x, x) = kAxk.
• Es gilt (AB)T = B T AT = B −1 A−1 = (AB)−1 .
5