Technische Universität München Übungsblatt 12

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Mathematik 1 (Elektrotechnik)
Prof. Dr. Anusch Taraz | Dr. Michael Ritter
Übungsblatt 12
Hausaufgaben
Aufgabe 12.1
Sei f : R3 → R3 gegeben durch f (x) := Ax mit


2 1 0

A := 
0 2 1  .
1 1 −2
Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix MB (f ) der Abbildung f bezüglich der Basis
B :=

 
  

2
0 
 −1


 
  
 2  , −1 , 1 ,




0
0
1
indem Sie . . .
a) . . . die darstellende Matrix direkt ausrechnen.
b) . . . zunächst eine geeignete Transformationsmatrix bestimmen, mit der Sie dann MB (f )
aus der Matrix A berechnen.
Aufgabe 12.2
Sei A ∈ Rn×n eine orthogonale Matrix und λ ∈ C ein Eigenwert von A. Zeigen Sie, dass |λ| = 1
gilt.
Aufgabe 12.3
Welche der folgenden Abbildungen sind diagonalisierbar? Berechnen Sie gegebenenfalls eine
Diagonalisierung und geben Sie die zugehörige Basis an.



1 −3 3


a) A = 3 −5 3
6 −6 4


1 −1 1

3 0
c) C =  0

−1 0 3

−3 1 −1

b) B = −7 5 −1

−6 6 −2


3 2 −1

d) D = 0 3 0 

1 4 1
Bitte wenden!
Aufgabe 12.4
Sei


3 0 −1


A :=  0 2 0  .
−1 0 3
Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis B, so dass die Abbildungsmatrix der Abbildung f :
x 7→ Ax bezüglich B Diagonalgestalt hat.
Aufgabe 12.5
Berechnen Sie jeweils kAk2 und kAk∞ für die Matrix


3 0 −1


A =  0 2 0 .
−1 0 3
Aufgabe 12.6
Die Fibonacci-Zahlen F0 , F1 , F2 , . . . sind rekursiv definiert durch die Vorschrift
F0 := 0,
F1 := 1,
Fn := Fn−1 + Fn−2
für n ≥ 2.
In dieser Aufgabe leiten wir eine explizite Darstellung der Fibonacci-Zahlen her.
a) Bestimmen Sie eine Matrix A ∈ R2×2 , so dass gilt:
!
F
Fn
= A n−1
Fn−2
Fn−1
!
b) Wie muss k ∈ N0 gewählt werden, damit (Fn , Fn−1 )T = Ak (F1 , F0 )T gilt?
c) Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A.
d) Zeigen Sie, dass A diagonalisierbar ist. Berechnen Sie eine invertierbare Matrix T und
eine Diagonalmatrix D mit der Eigenschaft D = T −1 AT .
e) Verwenden Sie die Diagonalisierung der Matrix A, um Ak für den k-Wert aus Teilaufgabe
b) zu berechnen.
f) Verwenden Sie die bisherigen Teilergebnisse, um eine explizite Darstellung (also eine
Formel Fn = . . . , die ohne Rekursion auskommt) für die Fibonacci-Zahlen Fn zu bestimmen.
Aufgabe 12.7
Sei A ∈ Rn×n eine symmetrische Matrix. Zeigen Sie, dass es dann eine Orthonormalbasis des
Rn gibt, die aus Eigenvektoren von A besteht.
Aufgabe 12.8
Welche der folgenden Matrizen sind einander ähnlich?


2 1 0


A = 0 2 0
0 0 1


1 0 0


B = 0 2 1
0 0 2


2 0 0


C = 0 1 0
0 0 2


1 1 0


D = 0 2 0
0 0 2
Aufgaben für die Tutorübung
Aufgabe 12.9
Finden Sie ein Beispiel für zwei Matrizen, die zwar die gleichen Eigenwerte besitzen, aber nicht
ähnlich zueinander sind.
Aufgabe 12.10
a) Finden Sie eine invertierbare 2 × 2-Matrix M , die einen Eigenwert λ ∈
/ R besitzt.
b) Berechnen Sie für Ihr Beispiel alle Eigenwerte und Eigenvektoren.
c) Berechnen Sie für Ihr Beispiel alle Eigenwerte und Eigenvektoren von M −1 .
d) Zeigen Sie, dass für jede invertierbare Matrix A ∈ Rn×n gilt: Ist λ ∈ C ein Eigenwert
von A, so ist λ1 ein Eigenwert von A−1 . Welcher Zusammenhang besteht zwischen den
Eigenvektoren von A und denen von A−1 ?
Aufgabe 12.11
Berechnen Sie jeweils kAk2 und kAk∞ für die Matrix


0 −1 −2


A = −1 0 −2 .
−2 −2 −3
Aufgabe 12.12
Sei A ∈ Rn×n . Zeigen Sie:
a) Wenn A diagonalisierbar ist mit D = T −1 AT , dann muss D die Eigenwerte von A auf der
Diagonalen enthalten und die Spalten von T bilden eine Basis des Rn aus Eigenvektoren
von A.
b) A ist genau dann diagonalisierbar, wenn es eine Basis des Rn gibt, die nur aus Eigenvektoren von A besteht.
c) Wenn A n paarweise verschiedene Eigenwerte beisitzt, dann ist A diagonalisierbar.