5. Hausaufgabe - TU Berlin

Technische Universität Berlin
SoSe 2012
Institut für Mathematik
http://www3.math.tu-berlin.de/Vorlesungen/SS12/LinAlg1/
Prof. Dr. O. Holtz, Dr. S. Jokar
Stand: 11. Mai 2012
Lineare Algebra I
5. Hausaufgabe
Abgabe: 21.05.12 bis 25.05.12
1. Aufgabe
(5 Punkte)
n1 ,n1
n1 ,n2
Sei R ein kommutativer Ring mit Eins und seien A11 ∈ R
, A12 ∈ R
, A21 ∈ Rn2 ,n1
n2 ,n2
und A22 ∈ R
. Weiter sei
[
]
A11 A12
A=
∈ Rn1 +n2 ,n1 +n2 .
A21 A22
(i) Sei A11 ∈ GLn1 (R). Zeigen Sie: A ist genau dann invertierbar, wenn A22 − A21 A−1
11 A12
invertierbar ist.
Finden Sie eine Formel für A−1 , falls A invertierbar ist.
(ii) Sei A22 ∈ GLn2 (R). Zeigen Sie: A ist genau dann invertierbar, wenn A11 − A12 A−1
22 A21
invertierbar ist.
Finden Sie eine Formel für A−1 , falls A invertierbar ist.
2. Aufgabe
Sei

1
0
A=
5
0
(4 Punkte)

i −i 0
0 0 1
 ∈ C4,4 .
0 −6i 0
1 0 0
(i) Berechnen Sie die Treppennormalform von A und geben Sie in jedem Schritt die
verwendeten Elementarmatrizen an.
(ii) Untersuchen Sie, ob A invertierbar ist. Bestimmen Sie gegebenenfalls A−1 und überprüfen Sie ihr Ergebnis durch Berechnung von A−1 A.
1
3. Aufgabe
[
]
(5 Punkte)
a b
∈ K 2,2 mit ad − bc ̸= 0. Zeigen Sie ohne die Produkte
c d
A−1 A oder AA−1 zu benutzen, dass A invertierbar ist mit
[
]
d −b
−1
−1
A = (ad − bc)
.
−c a
Sei K ein Körper und A =
4. Aufgabe
Berechnen Sie

1

A= 1
1
(3 Punkte)
die Treppennormalform der Matrix

0 1 0
0 1 1 ∈ (F2 )3,4 ,
1 0 1
unter Angabe der verwendeten Elementarmatrizen (man beachte, dass F2 = {0, 1}).
Bestimmen Sie die Pivotpositionen von A.
5. Aufgabe
Untersuchen Sie, ob die Menge
{
]}
[
cos(α) − sin(α)
2,2 G := A ∈ R ∃ α ∈ R : A =
sin(α) cos(α)
(3 Punkte)
mit der Matrixmultiplikation eine kommutative Untergruppe von GL2 (R) ist. Wenn nicht,
welche Eigenschaften sind noch erfüllt?
Hinweis: Sie dürfen die Additionstheoreme für trigonometrische Funktionen ohne Beweis
verwenden.
Gesamtpunktzahl: 20
2