Grundlagen der Algebra

Grundlagen der Algebra
SoSe 2012
Lösungsvorschlag zu Serie 6
Aufgabe 1
Es gilt:
(3, 2, 6, 1, 4)(6, 4, 1, 8)(1, 9, 2) = (1, 9, 6, 3, 2, 8)
((7, 2, 3, 1)(4, 2, 3, 1))−1 = (4, 2, 3, 1)−1 (7, 2, 3, 1)−1 = (1, 3, 2, 4)(1, 3, 2, 7) = (1, 2, 7, 3, 4)
Alternativ:
((7, 2, 3, 1)(4, 2, 3, 1))−1 = (1, 4, 3, 7, 2)−1 = (1, 2, 7, 3, 4)
Aufgabe 2
i
Schnitte von Normalteilern sind Normalteiler, denn sind N1 , N2 Normalteiler
von G, so ist für alle g ∈ G, h ∈ N1 ∩ N2 :
ghg −1 ∈ N1
und
ghg −1 ∈ N2
und damit ghg −1 ∈ N1 ∩ N2 . Dasselbe gilt auch für Schnitte beliebig (endlich
oder unendlich) vieler Normalteiler.
Es gilt also für alle h ∈ G ∩ A5 , g ∈ S5 :
ghg −1 ∈ G ∩ A5
Dies gilt insbesondere für alle g ∈ A5 . G ∩ A5 ist also Normalteiler in A5 .
1
ii
Untergruppen der Ordnung 2 werden von Produkten disjunkter 2-Zyklen zyklisch erzeugt. Ein solches Produkt besteht in S5 aus höchstens zwei Faktoren.
Sei {a, b, c, d} j {1, 2, 3, 4} und a, b, c, d paarweise verschieden. Dann ist
(b, c)(a, b)(b, c)−1 = (b, c)(a, b)(b, c) = (a, c) ∈
/ ⟨(a, b)⟩
und
(b, c)(a, b)(c, d)(b, c)−1 = (b, c)(a, b)(c, d)(b, c) = (a, c)(b, d) ∈
/ ⟨(a, b)(c, d)⟩.
S5 enthält also keinen Normalteiler der Ordnung 2.
iii
Sei G ein von {e}, A5 und S5 verschiedener Normalteiler von S5 . Da G∩A5 nach
(i) ein Normalteiler in A5 und A5 einfach ist, ist G∩A5 = {e} oder G∩A5 = A5 .
In letzterem Falle wäre aber G = A5 oder G = S5 , da nach dem Satz von Lagrange die Mächtigkeit von G entweder 60 oder 120 wäre. Ist also G ∩ A5 = {e},
so ist nach Prop. (1.9) GA5 ∼
= G × A5 eine Untergruppe von S5 . Da nach (ii)
#G > 2, enthält GA5 mindestens 180 Elemente. Es ist aber #S5 = 120.
Aufgabe 3
{
}
2
M := a2 ; a ∈ Z ist kein Ring, da z.B. 12 · 12 = n4 ∈
/ M.
√
{
}
N := a + 2b; a, b ∈ Z ist Teilmenge von C, daher sind Addition und Multiplikation kommutativ
Außer√ und assoziativ und es gilt das
√ Distributivgesetz.
√
dem ist 1 = 1 + 0 · 2 ∈ N . Des weiteren ist (−a − b 2) + (a + b √2) = 0,√so dass
jedes Element von N ein additives Inverses besitzt, und für a+b 2, c+d 2 ∈ N
sind auch
√
(a + c) + 2(b + d) ∈ N
und
√
(ac + 2bd) + (bc + ad) 2 ∈ N .
Da 1 ∈ N und N abgeschlossen bezüglich Inversenbildung und Addition ist, ist
auch 0 ∈ N .
N ist also ein Ring.
Aufgabe 4
i
Es gilt (0, 0, 0, ...)+(a1 , a2 , a3 , ...) = (a1 , a2 , a3 , ...) und (1, 1, 1, ...)·(a1 , a2 , a3 , ...) =
(a1 , a2 , a3 , ...). Dann ist (−a1 , −a2 , −a3 , ...) + (a1 , a2 , a3 , ...) = (0, 0, 0, ...). Kom2
mutativität und Assoziativität von Addition und Multiplikation zeigt man ebenso leicht; genauso die Distributivität.
(R, (0, 0, ...), (1, 1, ...), +, ·) ist also ein Ring.
ii
Damit (a1 , a2 , ...) invertierbar ist, muss jede einzelne Komponente invertierbar
sein. (a1 , a2 , ...) ist also genau dann invertierbar, wenn ∀i ∈ N : ai ∈ R \ {0}. 3