Lineare Algebra und Geometrie 2 für das Lehramt - staff.uni

Prof. Dr. Felix Leinen
12. Juni 2017
Lineare Algebra und Geometrie 2 für das Lehramt“
”
im Sommersemester 2017 – ÜBlatt 4
Abgabe der Hausaufgaben bis Mittwoch, 21. Juni 2017 um 08:15 Uhr.
Besprechung dieser Aufgaben in den Übungsstunden am 23. Juni 2017.
1. Es sei α ein Endomorphismus eines endlich-dimensionalen K-Vektorraumes V 6= {0}. Wie üblich
bezeichne mα das Minimalpolynom von α . Ferner sei g ∈ K[x] beliebig. Zeigen Sie:
(a) Ist g teilerfremd zu mα, so ist g(α) invertierbar.
[2.5 P]
(b) Ist g(α) invertierbar, so ist auch h(α) invertierbar für jedes h ∈ K[x] mit h | g .
[0.5 P]
(c) Ist g(α) invertierbar, so ist g teilerfremd zu mα .
[3 P]
2. Es seien a0 , . . . , ad−1 ∈ C fest gewählt. Im C -Vektorraum F aller Folgen komplexer Zahlen
betrachten wir die Menge R derjenigen Folgen zk k∈N , welche für jede natürliche Zahl n die
Gleichung
zn+d = ad−1 zn+d−1 + ad−2 zn+d−2 + . . . . . . + a0 zn
erfüllen.
(a) Begründen Sie kurz, wieso R ein Unterraum von F ist.
[0.5 P]
(b) Begründen Sie, wieso ein Vektorraumisomorphismus θ : R −→ Cd gegeben ist durch
θ (zk )k∈N = (z0 , . . . , zd−1 ) für alle zk k∈N ∈ R.
Der Shift-Operator σ : R −→ R sei gegeben durch σ (z0 , z1 , z2 , . . .) = (z1 , z2 , z3 , . . .) für alle
zk k∈N ∈ R. Dieser entspricht dem Endomorphismus ϕ = θ σ θ−1 ∈ EndC (Cd ) .
[1.5 P]
(c) Zeigen Sie: Hat ϕ genau d paarweise verschiedene Eigenwerte λ1 , . . . , λd , so gibt es zu jeder
Folge zk k∈N aus R gewisse c1 , . . . , cd ∈ C mit
zn = c1 λn1 + . . . . . . + cd λnd
für alle n ∈ N.
Tip. Betrachten Sie ein geeignete ϕ-invariante Zerlegung des Cd .
[5 P]
Es sei nun konkret zn die Anzahl aller n -Tupel mit Einträgen aus der Menge {0, 1, 2} , bei denen
keine zwei aufeinanderfolgenden Einträge gleich 0 sind.
(d) Bestimmen Sie a0 , a1 ∈ C mit zn+2 = a1 zn+1 + a0 zn für alle n .
[1 P]
(e) Geben Sie gemäß (c) eine explizite Formel für zn als Funktion von n an.
[4 P]
(f) Berechnen Sie z16 unter Verwendung der Formel aus (e).
[1 P]
bitte wenden
3. Es sei K ein beliebiger Körper. Auf dem K-Vektorraum V = K3 betrachten wir für den festen
Vektor 0 6= z ∈ V die Abbildung ϕz : V × V −→ K, gegeben durch


x1 y1 z 1
für alle x, y ∈ K3 .
ϕz (x, y) = det x y z = det  x2 y2 z2 
x3
y3
z3
(a) Begründen Sie, wieso ϕz ein Skalarprodukt auf V ist.
[1 P]
Im folgenden schreiben wir daher h x | y iz anstelle ϕz (x, y) .
(b) Bestimmen Sie zu z = (1, 1, 1)
x, y ∈ V .
T
die Matrix A ∈ K3×3 mit
h x | y iz = xT A y
für alle
[1 P]
Nun sei z wieder beliebig.
(c) Für welche z ist das Skalarprodukt h · | · iz regulär ?
(Begründung!)
(d) Bestimmen Sie den Unterraum V ⊥ bzgl. des Skalarproduktes h · | · iz .
[1 P]
[2 P]
Im folgenden sei U ein fest gewähltes direktes Komplement zu V ⊥ in V , d.h., es gelte
V = V⊥ ⊕U.
(e) Zeigen Sie:
U ∩ U ⊥ = {0} .
[2 P]
⊥
(f) Wir betrachten nun ein Element δ ∈ HomK (V, K) mit V ≤ Kern δ .
Folgern Sie, daß es zu δ ein w ∈ V gibt mit δ(v) = h v | w iz für alle v ∈ V .
[3 P]
(g) Ist das Element w in Teil (g) durch δ eindeutig festgelegt ?
[1 P]
(Begründung!)