LINEARE ALGEBRA I 11. ¨UBUNGSBLATT

Universität Bielefeld
WS 2016/17
LINEARE ALGEBRA I
11. ÜBUNGSBLATT
HENNING KRAUSE, PHILIPP LAMPE
Aufgabe 1. Eine Folge reeller Zahlen ist eine Abbildung a : N → R. Sei F die Menge aller Folgen a reeller
Zahlen, für die für alle n ≥ 2 die Gleichung a(n + 1) = a(n) + a(n − 1) gilt. Ein bestimmtes Element in F
ist die Folge f der Fibonaccizahlen mit f (1) = f (2) = 1 aus Hausaufgabe 2.4.
(a) Zeigen Sie, dass F ein Unterraum des R-Vektorraums aller Abbildungen von N nach R ist.
(b) Wir definieren eine Abbildung p : F → R2 durch p( a) = ( a(1), a(2)) für alle a ∈ F. Zeigen Sie, dass
p linear und bijektiv ist.
Folglich ist F zweidimensional. Die reellen Lösungen der quadratischen Gleichung T 2 = T + 1 bezeichnen
wir mit ϕ und ψ. Wir definieren x, y ∈ F durch x (n) = ϕn und y(n) = ψn für alle n ∈ N.
(c) Zeigen Sie, dass die Folgen x und y in F liegen und linear unabhängig sind. Folgern Sie, dass { x, y}
eine Basis und ein Erzeugendensystem von F ist.
(d) Ermitteln Sie reelle Zahlen λ, µ mit f = λx + µy.
Aufgabe 2.
(a) Seien f : U → V und g : V → W lineare Abbildungen zwischen K-Vektorräumen U, V und W.
Angenommen, g ◦ f ist ein Isomorphismus. Zeigen Sie, dass V = Im( f ) ⊕ Ker( g) gilt.
(b) Seien f , g : U → V lineare Abbildungen zwischen K-Vektorräumen U und V. Angenommen, es gilt
U = Ker( f ) + Ker( g) und V = Im( f ) + Im( g). Zeigen Sie, dass f + g ein Epimorphismus ist.
Aufgabe 3. Sei K = Z/3Z und V ⊆ Abb(K, K ) der Vektorraum der Polynomfunktionen f : K → K.
(a) Die Abbildung f ∈ V sei definiert durch f ( x ) = x3 für alle x ∈ K. Zeigen Sie, dass f = idK gilt.
(b) Die Abbildungen a, b, c ∈ V seien definiert durch a( x ) = 1, b( x ) = x und c( x ) = x 2 für alle x ∈ K.
Zeigen Sie, dass die Menge { a, b, c} eine Basis von V ist. Folgern Sie, dass V = Abb(K, K ) gilt.
(c) Ermitteln Sie alle Polynomfunktionen g ∈ V, sodass die lineare Abbildung Φ g : V → V, h 7→ h ◦ g
ein Isomorphismus ist.
Aufgabe 4. Sei K = Z/5Z. Der Dualraum V ∗ des Vektorraums V = K 3 enthält die Linearformen
f 1 : V → K, ( x1 , x2 , x3 ) 7→ 2 · x1 + 4 · x2 + 3 · x3 ,
f 2 : V → K, ( x1 , x2 , x3 ) 7→ 3 · x1 + 4 · x2 + 2 · x3 ,
f 3 : V → K, ( x1 , x2 , x3 ) 7→ 2 · x1 + 3 · x2 + 2 · x3 .
Ermitteln Sie eine Basis B von V, sodass B∗ = { f 1 , f 2 , f 3 } gilt.
Abgabe (Möglichkeit 1): Donnerstag, 26. Januar 2017, von 10:00 bis 12:00 Uhr in der Vorlesung.
Abgabe (Möglichkeit 2): Freitag, 27. Januar 2017, von 11:00 bis 12:00 Uhr in V4-200.
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