http://www.math.uni-bonn.de/ag/topo/Lineare Algebra WS12

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Wintersemester 2012/13
Prof. St. Schwede
Dr. L. Meier
ÜBUNGEN ZUR LINEAREN ALGEBRA I
Blatt 9∗, 7.12.2012
Aufgabe 9.1. Entscheide, ob die folgenden Abbildungen K-linear sind, und finde gegebenenfalls eine Basis ihres Kernes und ihres Bildes :
α : R3 → R2 , α(x, y, z) = (x − 2y, 6y − 3x), für K = R,
β : C → C, β(z) = z̄, für K = R und C, wobei z̄ die zu z konjugierte Zahl ist,
γ : C → C, γ(z) = |z|, für K = R und K = C, wobei |z| der Betrag von z ist,
δ : Q2 → Q2 , δ(x, y) = (2y, x2 + 2xy + y 2 ), für K = Q,
ε : (F3 )2 → (F3 )3 , ε(x, y) = (2x + y, y − x3 , x + 2y), für K = F3 .
Aufgabe 9.2. Sei f : V → W ein Isomorphismus von K-Vektorräumen, M = (mi )i∈I eine
Familie von Vektoren in V und f (M ) = (f (mi ))i∈I das Bild dieser Familie in W unter f .
(a) Zeige : M ist genau dann linear unabhängig, wenn f (M ) linear unabhängig ist.
(b) Zeige : M ist genau dann ein Erzeugendensystem/eine Basis von V , wenn f (M ) ein
Erzeugendensystem/eine Basis von W ist.
Aufgabe 9.3. Seien f : V → U und g : V → W K-lineare Abbildungen mit f surjektiv.
(a) Beweise, dass es genau dann eine Abbildung h : U → W mit g = h ◦ f gibt, wenn
ker(f ) ⊂ ker(g).
(b) Zeige : falls eine Abbildung h wie in (a) existiert, dann ist sie K-linear, eindeutig, und
es gelten
ker(h) = f ker(g) und im(h) = im(g) .
Aufgabe 9.4. Sei Abb(Z/pZ, Z/pZ) der Z/pZ-Vektorraum aller Abbildungen von Z/pZ nach
Z/pZ (die keine Homomorphismen sein müssen). Bezeichne die Abbildung
Z/pZ → Z/pZ, x 7→ xk
durch Pk . Zeige, dass (P0 , P1 , . . . , Pp−1 ) eine Basis von Abb(Z/pZ, Z/pZ) bildet. Zeige, dass die
Abbildung g : Abb(Z/3Z, Z/3Z) → Abb(Z/3Z, Z/3Z) gegeben durch f 7→ (x 7→ f (x + 1))
linear ist und drücke sie als Matrix bezüglich dieser Basis aus.
Aufgabe 9.5. Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Für K-lineare Abbildungen f, g :
V → V definiert man den Kommutator [f, g] : V → V durch [f, g](v) = f (g(v)) − g(f (v)).
(a) Zeige: Der Kommutator zweier linearer Abbildungen ist stets eine lineare Abbildung.
(b) Auf dem R-Vektorraum R[t] sind zwei lineare Abbildungen gegeben durch die Ableitung
D : R[t] → R[t] und durch die Multiplikation M : R[t] → R[t] mit dem Polynom (t + 1).
Berechne ihren Kommutator.
(c) Gegeben das Polynom P = t8 + t7 ∈ R[t]. Zeige: Wenn P durch wiederholtes Anwenden
von D und M (in beliebiger Reihenfolge) in ein lineares Polynom at + b mit a 6= 0
transformiert wird, so ist stets 49 ein Teiler von a − b.
∗
Abgabe : Freitag 14.12.2012, vor der Vorlesung.