Lineare Algebra I (Gruppen, Körper, Vektorräume)

Lineare Algebra I
Christian Ebert &
Fritz Hamm
Gruppen &
Körper
Vektorraum,
Basis &
Dimension
Lineare Algebra I
Christian Ebert & Fritz Hamm
18. November 2011
Wozu das alles?
Lineare Algebra I
Christian Ebert &
Fritz Hamm
Gruppen &
Körper
Bedeutung von Termen ; Vektoren in Rn
Vektorraum,
Basis &
Dimension
Ähnlichkeiten zwischen Termbedeutungen ;
Skalarprodukt/Norm/Metrik in Rn
Komposition von Termbedeutungen ; Operationen
auf/Abbildungen von Vektoren ∼
= Matrizen
Latent Semantic Analysis ;
Eigenwert-/Singulärwertzerlegung
Quantenlogik ; Hilberträume (unendlich-dimensionale,
vollständige Vektorräume über den komplexen Zahlen mit
Skalarprodukt); Eigenwerte
Übersicht
Lineare Algebra I
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Fritz Hamm
Gruppen &
Körper
Vektorraum,
Basis &
Dimension
Lineare Algebra I
Gruppen & Körper
Vektorräume, Basis & Dimension
Lineare Algebra II
Skalarprodukt, Norm & Metrik
Lineare Abbildung & Matrizen
Lineare Algebra III
Eigenwerte, Eigenwertzerlegung
Singulärwertzerlegung
Gruppen & Körper I
Lineare Algebra I
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Gruppen &
Körper
Definition (Gruppe)
Eine Gruppe ist ein Paar (G, ◦), bestehend aus einer Menge G
und einer Verknüpfung, d.h. Abbildung
Vektorraum,
Basis &
Dimension
◦ : G × G → G,
(a, b) 7→ a ◦ b
die folgenden Gruppenaxiomen gehorcht:
G1 (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c)
(Assoziativgesetz)
G2 es gibt ein neutrales Element e ∈ G mit e ◦ a = a für alle
a∈G
G3 zu jedem a ∈ G gibt es ein inverses Element a0 ∈ G mit
a0 ◦ a = e
Gilt ausserdem
G4 a ◦ b = b ◦ a
so heisst die Gruppe abelsch
(Kommutativgesetz)
Gruppen & Körper II
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Gruppen &
Körper
Vektorraum,
Basis &
Dimension
Definition (Körper)
Ein Körper (engl. field) ist ein Tripel (K, +, ·), bestehend aus
einer Menge K und zwei Verknüpfungen
+ : K × K → K,
(a, b) 7→ a + b
· : K × K → K,
(a, b) 7→ a · b
„Addition“
„Multiplikation“
sodass folgende Köperaxiome erfüllt sind:
K1 (K, +) ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 0
K2 (K\{0}, ·) ist eine abelsche Gruppe
K3
a · (b + c) = (a · b) + (a · c) und
(Distributivgesetz)
(a + b) · c = (a · c) + (b · c) für alle a, b, c ∈ K
Gruppen & Körper III
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Fritz Hamm
Gruppen &
Körper
Vektorraum,
Basis &
Dimension
Konventionen:
Das additive inverse Element zu a wird mit −a, das
multiplikativ inverse Element mit a−1 bezeichnet
Das neutrale Element der Addition wird als Null(element) 0
bezeichnet
Das neutrale Element der Multiplikation wird als
Eins(element) 1 bezeichnet
Statt a · b schreibt man kurz ab
Statt a + (−b) schreibt man kurz a − b
Bezeichnungen weiterer algebraischer Strukturen:
Halbgruppe: (G, ◦) mit G1
Monoid: (G, ◦) mit G1 & G2
Ring: (K, +, ·), mit K1 & K3, aber (K, ·) nur Halbgruppe
Ring mit Eins: (K, +, ·), mit K1 & K3, aber (K, ·) nur Monoid
Der Begriff des Vektorraumes I
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Gruppen &
Körper
Vektorraum,
Basis &
Dimension
Definition (Vektorraum)
Sei K ein Körper. Ein K-Vektorraum ist ein Tripel (V, +, ·),
bestehend aus einer Menge V und zwei Abbildungen
+ : V × V → V,
(v, w) 7→ v + w
· : K × V → V,
(λ, a) 7→ λ · a
„(Vektor-)Addition“
„skalare Multiplikation“
mit folgenden Eigenschaften:
V1 (V, +) ist eine abelsche Gruppe
V2 1 (λ + µ) · v = (λ · v) + (µ · v)
2
3
4
λ · (v + w) = (λ · v) + (λ · w)
(λµ) · v = λ · (µ · v)
1·v=v
Achtung: + hier ambig!
Der Begriff des Vektorraumes II
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Gruppen &
Körper
Vektorraum,
Basis &
Dimension
Definition (Untervektorraum)
Sei V ein K-Vektorraum und W ⊆ V eine Teilmenge. W ist ein
Untervektorraum von V, falls folgendes gilt:
U1 W 6= ∅
U2 Wenn v, w ∈ W, dann auch v + w ∈ W
U3 Wenn λ ∈ K, v ∈ W, dann auch λv ∈ W
Bemerkungen:
Jeder Unter-VR W eines K-VR enthält die 0
Jeder Unter-VR W eines K-VR ist selbst wieder ein K-VR
Für zwei Unter-VR W, W 0 eines K-VR ist W ∩ W 0 wieder ein
Unter-VR (aber nicht notwendigerweise W ∪ W 0 )
Der Begriff des Vektorraumes III
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Gruppen &
Körper
Vektorraum,
Basis &
Dimension
Definition (Linearkombination & Erzeugnis)
Sei V ein K-VR und (v1 , . . . , vn ) eine Familie von Elementen aus
V. Ein w ∈ V heißt Linearkombination von (v1 , . . . , vn ), falls es
λ1 , . . . , λn ∈ K gibt, so dass
w = λ1 v1 + . . . + λn vn
Die Menge
Span(v1 , . . . , vn ) := {w | w ist Linearkombination von (v1 , . . . , vn )}
heißt Erzeugnis/lineare Hülle von (v1 , . . . , vn )
Bemerkungen:
Span(v1 , . . . , vn ) ist ein Unter-VR von V, nämlich der kleinste,
der alle vi enthält.
Der Begriff des Vektorraumes IV
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Gruppen &
Körper
Vektorraum,
Basis &
Dimension
Definition (lineare Unabhängigkeit)
Sei V ein K-Vektorraum. Eine endliche Familie (v1 , . . . , vn ) von
Vektoren aus V heißt linear unabhängig, falls aus
λ1 v1 + . . . + λn vn = 0
λ1 , . . . , λ n ∈ K
folgt, dass
λ1 = · · · = λn = 0
(d.h. der Nullvektor lässt sich nur trivial linear kombinieren)
Der Begriff des Vektorraumes V
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Definition (Erzeugendensystem & Basis)
Gruppen &
Körper
Sei V ein K-Vektorraum und (v1 , . . . , vn ) eine Familie von Vektoren
aus V. Die Familie heißt Erzeugendensystem von V, falls gilt:
Vektorraum,
Basis &
Dimension
Span(v1 , . . . , vn ) = V
Ist die Familie linear unabhängig, heißt sie Basis. Die Anzahl der
Vektoren in der Familie n heißt dann auch die Länge der Basis.
Bemerkungen:
Eine Basis ist ein minimales Erzeugendensystem und eine
maximale linear unabhängige Familie
Durch eine gegebene Basis lässt sich jeder Vektor eindeutig
linear kombinieren
Jeder Vektorraum besitzt eine Basis
Je zwei Basen haben die gleiche Länge
Der Begriff des Vektorraumes VI
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Gruppen &
Körper
Vektorraum,
Basis &
Dimension
bislang betrachtet: endliche Familien von Vektoren ⇒
endliche Linearkombinationen, Erzeugendensysteme,
Basen, etc.
obige Definitionen und Bemerkungen lassen sich auch auf
unendliche Familien (vi )i∈I von Vektoren verallgemeinern
damit kann man Vektorräume in endlich vs. unendlich
erzeugte einteilen.
Definition (Dimension)
Sei V ein K-Vektorraum. Die Dimension dimK V von V ist wie folgt
definiert:
(
∞ V ist unendlich erzeugt/hat keine endliche Basis
dimK V :=
n
V hat Basis der Länge n