Matrizen - Sport – www.SchuleSportReisen.de

Matrizen
Typ
I
Typ
II
Typ
III
Typ
IV
Gehäuse
8€
3€
2€
3€
Einzelteile
12 €
5€
6€
4€
Montage
20 €
15 €
12 €
18 €
Begriff:
 8 3 2 3


12
5
6
4


 20 15 12 18 


Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema.
Ein System aus m x n Elementen, die in einem rechteckigen Schema von m
Zeilen und n Spalten angeordnet sind, wird Matrix genannt.
Ein Tensor 2. Stufe wird Matrix genannt.
Darstellung einer Matrix
 8 3 2 3


A  3,4   12 5 6 4 
 20 15 12 18 


3 Zeilen
Element: a23
4 Spalten
 1

0
0

 M
0

0
1
0
M
0
0 ...
0 ...
1 ...
M 1
0 ...
0

0
0

0
1
Einheitsmatrix
Allgemein:
 a11 a12

a
a 22
A  m,n   21
 ...
...

 am1 am2
... a1n 

... a 2n 
... ... 

... amn 
quadratische Matrix: m = n
Rechnen mit Matrizen
Addition:
A B  C

aik + bik = cik
Berechnen Sie.
Skalare Multiplikation:
 2 1

 6 2
A C
Berechnen Sie.
4   3
1

3   2 5
2

3
   aik  cik
 2 1
3  
 6 2
4

3
1
A B  C
Multiplikation:
 ai1  b1k  ai2  b2k  K  air  brk  cik
Aufgaben:
1
2
Berechnen Sie das Matrizenprodukt. Überprüfen Sie die Berechnung mit dem
Taschenrechner.
 3 5

  2 3
 1 2    1 4  

 3 2  


 5 2   1 2 



 3 1   3 5 
 3 5
 2 3 


   1 2  
 1 4   3 2 


 1 2 3   1 2 

 

 2 1 4    0 2  
2 3 0  0 2

 

 1 2   1 2 



 3 1  4 5 
 1 2   1 2 



 4 5   3 1
Berechnen Sie. Überprüfen Sie die Berechnung mit dem Taschenrechner.
2
 1 6

 
0 0
 1

 4
 2

2
3

2 
5 
3
 1 6

 
0 0
2
 1 1

 
 1 1
2
 2 1 1 


 1 0 3 
2 5 4


3
 1 1

 
 1 1
4
 1 1

 
 1 1
2
 3 1

 
 1 3 
2
 1 0 0


0 1 0 
 0 0 1


3*
4*
*(Musteraufgabe „gemeinsames Abitur“)
2
Determinante und inverse Matrix
Determinante
Inverse Matrix
Aufgaben:
1
Berechnen Sie die Determinante und die Inverse Matrix. Überprüfen Sie mit dem
Taschenrechner.
2 3
A 

3 5
2
 1 2 
B

 3 5 
2 3
C

 2 4
 2 6
D

3 7
3 6
F

 2 4
Berechnen Sie, für welches a die Matrix A keine inverse Matrix besitzt.
a 0 2


A   2 1 1
2 3 2


Drehung von geometrischen Objekten
Drehung eines Punktes in der x-y-Ebene
Drehzentrum: Koordinatenursprung, Drehwinkel:  , positive Drehrichtung

P x y


P x y
 x    cos   sin    x 
 
 
 y   sin  cos    y 

Aufgaben:
1
Geben Sie die Abbildungsmatrix für   90 an.
2
Ermitteln Sie die Koordinaten der Bildpunkte bei einer Drehung um 30°, 90° und 180°.
 
A 11
3
 
B 4 1


C 4 5 .
Stellen Sie das Dreieck ABC (siehe Aufgabe 2) und die Bilddreiecke A´B´C´ in einem
kartesischen Koordinatensystem dar.
3
Drehung im Raum
 =90°
Um um Winkel 
um
x-Achse
um
y-Achse
um
z-Achse
Matrix R
1
0
0 


 0 cos   sin  
 0 sin  cos  


1

0
0

 cos 

 0
  sin 

 0

 0
 1

 cos 

 sin 
 0

0
1
0
sin  

0 
cos  
 sin 
cos 
0
0

0
1 
0

1
0

0
0
0

1
0 
1
P´
 x 
 
 z 
 y 
 
1

0
0

 z 


 y 
 x 


1 0 

0 0
0 1 
 y 


 x 
 z 


0
1
0
Aufgabe
Ermitteln Sie die Koordinaten der Bildpunkte bei einer Drehung um 60° um die z-Achse
und um 90° um alle Koordinatenachsen.

A 4 0 0
 B 0
3 0



C 0 0 5 .
4