3. ¨Ubungsblatt zur ” Mathematik 1 für Maschinenbauer“

Prof. Dr. Michael Winkler
Tobias Black, Xinru Cao, Johannes Lankeit
Wintersemester 2016/2017
28. Oktober 2016
3. Übungsblatt zur
Mathematik 1 für Maschinenbauer“
”
Bitte fertigen Sie Ihre Abgabe handschriftlich und nicht mit Bleistift an. Keine Gruppenabgaben. Jeder Übungszettel soll getackert und mit Deckblatt versehen sein, auf dem
Name, Matrikelnummer, Übungsgruppe und Punktetabelle vermerkt sind. Auf ungetackerte Übungszettel wird mit Punktabzug reagiert. Alle Lösungswege sind ausreichend
zu erläutern.
Verspätete Abgaben können nicht bewertet werden.
Abgabe der Hausübungen bis Montag, 7. November 2016, 9:28 Uhr
in den grünen Kästen im ersten Stock des D-Gebäudes.
ˆ Kasten Nr. 106: Übungsgruppen MB01, MB02, MB03, MB04 und MB05
ˆ Kasten Nr. 107: Übungsgruppen MB06, MB07, MB08, MB09 und ENG
ˆ Kasten Nr. 108: Übungsgruppen W01, W02, W03, W04 und W05
ˆ Kasten Nr. 109: Übungsgruppen W06, W07, W08, W09 und CIW
Webseite zur Vorlesung: http://tinyurl.com/ma1masch-wise1617
3. Übung
Mathematik 1 für Maschinenbauer
Gruppenübungen
Aufgabe G 1
Ein Dreieck sei durch die Eckpunkte A = (1, 1), B = (5, 1) und C = (5, 4) gegeben.
a) Skizzieren Sie das Dreieck in einem geeigneten ebenen Koordinatensystem.
−−→ −−→
−→
−−→
b) Bestimmen Sie die Vektoren AB, BC und AC und berechnen Sie den Vektor AB +
−−→ −→
BC + AC.
c) Berechnen Sie die Seitenlängen des Dreiecks.
−−→ −→
d) Berechnen Sie den Winkel ^(AB, AC) (im Bogenmaß).
e) Berechnen Sie die Höhe von B bezogen auf die Strecke AC.
Aufgabe G 2
2
3/5
1
(a) Es sei ~v =
. Bestimmen Sie ~v⊥ und ~vk zu ~e =
und zu ~e =
40
4/5
0
(b) Geben Sie Vektoren w
~ 1 und w
~ 2 an, sodass ~v ⊥ w
~ 1 und ^(~v , w
~ 2 ) = π6 .
Aufgabe G 3
−−→
−−→
Wir betrachten das von den Vektoren OP = ( ab ) und OQ = ( dc ) aufgespannte Dreieck.
Q
O
R
P
−−→
a) Zeigen Sie, dass der Vektor RQ durch
2
−−→
1
(a + b2 )c − (ac + bd)a
RQ = 2
a + b2 (a2 + b2 )d − (ac + bd)b
gegeben ist.
−−→
|ad−bc|
b) Folgern Sie, dass |RQ| = √
.
a2 +b2
c) Geben Sie eine allgemeine Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks in Abhängigkeit von (ausschließlich) a, b, c, d an.
2
3. Übung
Mathematik 1 für Maschinenbauer
Hausübungen
Abgabe bis 7. November 2016
Aufgabe H 1 (12 Punkte)
Ein Viereck sei durch seine Eckpunkte
A = (−2, 0),
B = (1, 0),
C = (2, 2) und D = (−1, 3)
gegeben.
a)
b)
c)
d)
−−→ −−→ −−→
−−→
Bestimmen Sie die Vektoren AB, AD, DC und BC sowie ihre Längen.
Berechnen Sie die Länge der Diagonalen zwischen den Punkten B und D.
−−→ −−→
−−→ −−→
Berechnen Sie die Winkel ^(AB, AD) und ^(DB, DC) (im Bogenmaß).
Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Vierecks.
Aufgabe H 2 (4 Punkte)
Der Einheitsvektor ~e gebe die Richtung einer um den Winkel α gegenüber der x-Achse
gedrehten Geraden an. Bestimmen Sie jeweils
√ die zu dieser Geraden parallelen bzw.
~ = ( 12 ) für α = 0, α = π4 und
orthogonalen Anteile der Vektoren ~v = √22 und w
α = − π2 .
Aufgabe H 3 (2 Punkte)
Johannes’ Schreibtisch ist 2m lang. Leider ist der Schreibtisch schief und am linken Ende
3cm höher als am rechten Ende. Auf dem Schreibtisch liegt am linken Ende eine Tafel
von 250g Schokolade. Wie groß ist der Betrag der Kraft, die parallel zur Schreibtischoberfläche auf die Tafel Schokolade wirkt?
(Sie dürfen für die Erdbeschleinigung g = 9, 81m/s2 annehmen und verwenden, dass für
x
jedes x ∈ R gilt, dass sin(arctan(x)) = √1+x
.)
2
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3. Übung
Mathematik 1 für Maschinenbauer
Aufgabe H 4 (7 Punkte)
Berechnen Sie die Flächeninhalte der abgebildeten Polygone.
y
(−8, 4)
(−3, 4)
(0, 3)
(−9, 2)
(−4, 2)
(2, 32 )
5
(− 11
5 , 4)
x
(3, − 23 )
(−8, −3)
(−8, −5)
(−6, −3)
(1, −2)
(−2, − 52 )
(6, − 52 )
(8, −2)
(−6, −5)
(5, −6)
4
(7, − 11
2 )