13. ¨Ubungsblatt zur ” Mathematik 1 für Maschinenbauer“

Prof. Dr. Christian Fleischhack
Tobias Black, Johannes Lankeit
Wintersemester 2015/2016
22. Januar 2016
13. Übungsblatt zur
Mathematik 1 für Maschinenbauer“
”
Bitte fertigen Sie Ihre Abgabe handschriftlich und nicht mit Bleistift an. Keine Gruppenabgaben. Jeder Übungszettel soll getackert und mit Deckblatt versehen sein, auf
dem Name, Matrikelnummer, Übungsgruppe und Punktetabelle vermerkt sind. Auf ungetackerte Übungszettel wird mit Punktabzug reagiert. Alle Lösungswege sind ausreichend zu erläutern.
Verspätete Abgaben können nicht bewertet werden.
Abgabe der Hausübungen bis Montag, 1. Februar 2016, 9:15 Uhr
in den orangefarbenen Kästen im ersten Stock des D-Gebäudes.
• Kasten Nr. 12: Übungsgruppen MB01, MB02, MB03, MB04 und MB05
• Kasten Nr. 13: Übungsgruppen MB06, MB07, MB08, MB09 und MB10
• Kasten Nr. 14: Übungsgruppen W01, W02, W03, W04 und W05
• Kasten Nr. 15: Übungsgruppen W06, W07, W08, W09, W10 und CIW
Webseite zur Vorlesung: http://tinyurl.com/ma1masch-wise1516
13. Übung
Mathematik 1 für Maschinenbauer
Gruppenübungen
Aufgabe G 1
Leiten Sie ab:
2
e2x ,
ecos(3x
2 +sin(arctan(e7x )))
,
arcsin(x).
Aufgabe G 2
Bestimmen Sie alle lokalen und globalen Minima und Maxima der Funktionen
(
(
f : R → R,
g : (2, 4] → R,
2
x
2
4
−x
x 7→ (x − x )e ,
x 7→ x−2
.
Aufgabe G 3
a) Bestimmen Sie ohne Verwendung elektronischer Hilfsmittel cos(0,15) mit einer Genauigkeit von 0,0001. Tipp: Taylor.
b) Geben Sie das Taylorpolynom 42. Grades an der Stelle 2525 zur Funktion
(
f : R → R,
x 7→ (x7 + x5 − 4)(x18 − 33)
an.
Aufgabe G 4
Es sei f : R → R eine differenzierbare Funktion. Zeigen Sie, dass zwischen zwei lokalen
Minima stets ein lokales Maximum liegt (und umgekehrt).
2
13. Übung
Mathematik 1 für Maschinenbauer
Hausübungen
Abgabe bis 1. Februar 2016
Aufgabe H 1 (6 Punkte)
Sei β ∈ R gegeben. Bestimmen Sie alle reellen Zahlen α derart, dass
α + 2x ln(x) + βx ≥ 0
für alle x ∈ (0, ∞).
Aufgabe H 2 (4 Punkte)
Bestimmen Sie W 0 (0) und W 0 (e) für die Funktion W , die wir in Aufgabe H3 auf Blatt
10 definiert haben. (Tipp: Überlegen Sie sich zunächst die Werte von W (0), W (e).)
Aufgabe H 3 (6 Punkte)
Beweisen Sie die folgenden Ungleichungen mit dem Mittelwertsatz:
(a) | cos(ex ) − cos(ey )| ≤ |x − y| für x, y ≤ 0,
(b) ln(1 + x) ≤
√x
1+x
für x > 0.
Hinweis zu (b): Betrachten Sie f (t) = ln(1 + t) −
√t
1+t
im Intervall [0, x].
Aufgabe H 4 (4 Punkte)
Finden Sie das Polynom dritten Grades, das die durch f (x) = e2x + x4 + xe−x gegebene
Funktion in der Nähe der Stelle 0 am besten approximiert.
Aufgabe H 5 (4 Punkte)
Bestimmen Sie das Taylorpolynom dritten Grades an der Stelle 0 zu der Funktion exp.
√
Berechnen Sie mithilfe dieser Taylorformel eine Approximation von 4 e und schätzen Sie
den Fehler ab.
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