¨Ubungen zur Theoretischen Physik I, SS 2016 ¨Ubung 2 A.4: Kepler

H.-W. Hammer J. Braun
Institut für Kernphysik
Übungen zur Theoretischen Physik I, SS 2016
Übung 2
A.4: Kepler-Problem mit modifiziertem Gravitationspotential
Betrachten Sie das Kepler-Problem mit einem modifizierten Gravitationspotential. Nehmen Sie
an, das Gravitationspotential verhalte sich wie
γ
V =− 2 .
r
(a) Berechnen Sie die Energie und den Drehimpuls. Sind Energie E und 3. Komponente des
Drehimpulses Lz noch erhalten?
Hinweis:
Wählen Sie ein geeignetes Koordinatensystem.
(b) Lösen Sie die Bewegungsgleichungen, d.h. finden Sie r(t) und r(φ), und diskutieren Sie
die verschiedenen Fälle!
Hinweis: √
R
R √
R √
− 1/ 1 − x2 = cos−1 (x), 1/ 1 + x2 = sinh−1 (x), 1/ −1 + x2 = cosh−1 (x)
A.5: Mehrdimensionale Integrale II
Es gibt noch einen weiteren wichtigen Integralsatz: den Satz von Gauß,
I
Z
~
~
~ r)dV .
K(~r)dAV =
div K(~
∂V
V
~ = (x, y, z)T , das das Volumen V durchströmt, das von
Gegeben sei wieder das Vektorfeld K
den Seiten x = 0, y = 0, z = 0, 2x + 2y + z = 6 begrenzt wird. ∂V ist die begrenzende Fläche
dieses Volumens. Auf der linken Seite ist ein Flächenintegral zu berechnen, auf der rechten ein
Volumenintegral.
(a) Bestimmen Sie das iterierte Volumenintegral. Fertigen Sie als Hilfe eine Zeichnung an,
um die Integrationsgrenzen zu bestimmen. Überprüfen Sie das Resultat geometrisch.
(b) Berechnen Sie jetzt das Oberflächenintegral mit der Formel
Z ~
K x, y, z(x, y) · ~n x, y, z(x, y)
I=
dxdy
~e3 · ~n x, y, z(x, y) F
sowie x, y, z vertauscht für andere Lagen der Flächenelemente. ~n ist jeweils der nach
außen zeigende Normalenvektor der Fläche, ~e3 der dritte Einheitsvektor.
Übungen zur Theoretischen Physik I, SS 2016
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Abgabe am 29.04.2016
H.1: Kugelkoordinaten
Ein nützliches mathematisches Hilfsmittel sind Kugelkoordinaten. Statt der kartesischen Koordinaten x, y, z sind gegeben
• seine Länge r;
• der Polarwinkel θ, der Winkel, den der Vektor mit der z-Achse einschließt;
• sowie der Azimuthwinkel φ, der Winkel, den die Projektion des Vektors in die x-y-Ebene
mit der x-Achse einschließt.
(a) Drücken Sie ~r = (x, y, z)T durch Kugelkoordinaten aus. Was ist der Wertebereich der
neuen Koordinaten?
(b) Berechnen Sie die drei Einheitsvektoren
~eα =
∂~r . ∂~r ,
∂α ∂α
α = r, θ, φ .
Zeigen Sie, dass diese Vektoren paarweise senkrecht aufeinander stehen. Was bedeuten
diese Vektoren anschaulich?
(c) Rechnen Sie das Integrationsmaß dx dy dz in Kugelkoordinaten um:
∂x i dx dy dz = det
dr dθ dφ .
∂α
Was bedeutet der dabei auftretende Faktor (die Funktional- oder Jacobi-Determinante)?
H.2: Bewegung in einem magnetischen Monopolfeld
In der Nähe der Pole sei das Magnetfeld näherungsweise durch ein magnetisches Monopolfeld
~ ∝ ~r/r3 beschrieben. Die Bewegungsgleichung eines geladenen Teilchens der Masse
der Form B
m in diesem Feld ist dann aufgrund der Lorentz-Kraft durch
m ~r¨ = µ
~r × ~r˙
r3
gegeben. Zur Zeit t = 0 sei die Position und die Geschwindigkeit durch ~r0 bzw. ~v0 gegeben,
wobei ~r0 × ~v0 6= 0.
(a) Zeigen Sie, dass
d ˙2
|~r| = 0 und
dt
d2 2
|~r| = 2|~v0 |2 .
2
dt
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(b) Zeigen Sie, dass
2
~r0 · ~v0
|~r0 × ~v0 |2
+
|~r(t)| = |~v0 | t +
.
|~v0 |2
|~v0 |2
2
2
(c) Zeigen Sie, dass
~r .
m ~r × ~r˙ + µ = J~ = const.
r
(d) Berechnen Sie ~r(t) · J~ und schließen Sie daraus, dass ~r auf einem Kegel liegt.
(e) Zeigen Sie, dass
d ~r
1 ~ ~r
=
J× .
dt r
mr2
r
(f ) Zeigen Sie:
h
i
~ ~r0 ,
~r(t) = |~r(t)| exp f (t)A(J)
|~r0 |
wobei A(~h)~k = ~h × ~k für alle Vektoren ~h, ~k ∈ R3 . Berechnen Sie f (t).
Hinweis:
R
1
1
dx (ax+b)
2 +1 = a arctan(ax + b)
(g) Skizzieren Sie die Bahnkurve und diskutieren Sie den Bewegungsablauf.
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