Übungsblatt 05

Mathematische Grundlagen der Physik
Blatt 5
Prof. Dr. B. Rethfeld, O. Brenk
Abgabe: 30.11.2015
1. Aufgabe
Wir betrachten den Vektor ~r. Beim Übergang von kartesischen Koordinaten, x, y,
z, zu Kugelkoordinaten, r, ϕ, ϑ, gelten folgende Transformationsgleichungen:
x = r sin ϑ cos ϕ
y = r sin ϑ sin ϕ
z = r cos ϑ .
Dabei ist r der Abstand vom Koordinatenursprung, der Azimutwinkel ϑ ∈ [0, π[
der Winkel zwischen r und der z-Achse und der Polarwinkel ϕ ∈ [0, 2π] der Winkel
zwischen der x-Achse und der Projektion des Vektors ~r auf die x, y-Ebene.
a) Berechnen Sie die Einheitsvektoren ~er , ~eϕ , ~eϑ in Kugelkoordinaten.
Skizzieren Sie ihre Richtung für zwei verschiedene Punkte im Raum.
b) Bestimmen Sie die Längenelemente dsr , dsϕ , dsϑ in Kugelkoordinaten.
c) Berechnen Sie das Flächenelement dF auf der Oberfläche einer Kugel mit Radius
R in Kugelkoordinaten.
d) Berechnen Sie das Volumenelement dV in Kugelkoordinaten.
e) Berechnen Sie durch explizite Integration in Kugelkoordinaten das Volumen
und die Oberfläche einer Kugel mit Radius R.
exp (−αr)
f) Berechnen Sie durch explizite Integration der Dichteverteilung ρ(~r) = ρ0
r
die Masse M, die in einer Kugel vom Radius R enthalten ist. Rechnen Sie in
Kugelkoordinaten.
2. Aufgabe
Gegeben sei eine Punktladung Q im Ursprung von R3 . Im Abstand ~r herrsche ein
abgeschirmtes Coulomb-Potential
V (~r) =
Q −αr
e
r
mit der Abschirmkonstanten α ∈ R.
a) Berechnen Sie die Kraft F~ = −q∇V , die auf eine Ladung q am Ort ~r wirkt, in
kartesischen Koordinaten.
b) Berechnen Sie die Kraft F~ = −q∇V , die auf eine Ladung q am Ort ~r wirkt, in
Kugelkoordinaten.
c) Zeigen Sie, dass die Kraft F~ (~r) rotationsfrei ist.
d) Zeichnen Sie für zwei Dimensionen die Kraftlinien und die Äquipotentiallinien
in einer Ebene durch ~r = ~0. Welche Beziehung herrscht zwischen den beiden?
3. Aufgabe
Auf ein Teilchen mit der Masse m und der Geschwindigkeit ~r˙ (t) wirkt eine Kraft
~ Dabei ist B
~ ein zeitlich und räumlich konstantes Feld.
F~ (~r ) = q ~r˙ × B.
Zeigen Sie:
a) Die kinetische Energie Ekin =
m ˙ 2
~r ist zeitlich konstant.
2
~
b) Die Komponente der Geschwindigkeit in B–Richtung
ist zeitlich konstant.
c) Der Geschwindigkeitsvektor ~v = ~r˙ (t) beschreibt einen Kreis im Raum R3 .
Diese Rechnungen lassen sich in allgemeiner, koordinatenunabhängiger Darstellung
am schnellsten durchführen.