Blatt 6 ҬUbungen zur Theoretische Physik II

WS 2016/2017
Universität Regensburg
Institut I - Theoretische Physik
Prof. Dr. Ferdinand Evers, Dr. Daniel Hernangómez
Lars Milz, Phillipp Reck, Matthias Stosiek
http://www.physik.uni-regensburg.de/forschung/evers/courses/qmech.phtml
Blatt 6
“Übungen zur Theoretische Physik II Quantenmechanik für LA und Nanoscience”
Diskussion: 30. November / 1. Dezember 2016
1 Drehimpulsoperator in Kugelkoordinaten
(4 Punkte)
Betrachten Sie die Definition des Drehimpulsoperators in Kartesischen Koordinaten aus der
Vorlesung, L̂ = −ir̂ × ∇r , mit dem Gradientoperator ∇r .
a) Zeigen Sie, dass sich die Komponenten von L̂ = (L̂x , L̂y , L̂z ) in Kugelkoordinaten schreiben
lassen, als
∂
∂
,
L̂x = −i − sin ϕ − cos ϕ cotan θ
∂θ
∂ϕ
∂
∂
L̂y = −i cos ϕ − sin ϕ cotan θ
,
∂θ
∂ϕ
L̂z = −i
∂
.
∂ϕ
b) Verwenden Sie das Ergebnis von Teil a) um zu zeigen, dass das Quadrat des Impulsoperators,
L̂2 , durch den folgenden Ausdruck gegeben ist.
1 ∂
∂
1 ∂2
2
sin θ
+
.
L̂ = −
sin θ ∂θ
∂θ
sin2 θ ∂ϕ2
Hinweis: Sie brauchen vielleicht folgende, trigonometrische Identität: sin−2 θ = 1+cotan2 θ.
Weitere Literatur: F. Schwabl, Quantenmechanik (Band 1), Sektion 5.3
2 Kinetischer Energieoperator in Kugelkoordinaten
(5 Punkte)
a) Aufgabe 1 folgend, beweisen Sie, dass der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten geschrieben
werden kann als
1 ∂
L̂2
2 ∂
∆r = 2
r
− 2
r ∂r
∂r
r
.
b) Verwenden Sie das Ergebnis von Teil a) um zu zeigen, dass der kinetische Energieoperator
in Kugelkoordinaten in einen radialen und einen winkelabhängigen Teil aufgespalten werden
kann, durch
~2 L̂2
p̂2 = p̂2r + 2 ,
r
wobei p̂r die radiale Komponente des Impulsoperators ist.
c) Bestimmen Sie den expliziten Ausdruck für p̂r und beweisen Sie, dass seine Vertauschungsrelation (commutation relation) mit der radialen Koordinate gegeben ist durch [p̂r , r̂] = −i~11.
Weitere Literatur: F. Schwabl, Quantenmechanik (Band 1), Sektion 6.1
3 3D unendlicher Potentialtopf
(8 Punkte)
Auf Blatt 0, Aufgabe 4 haben wir die Methode der Separation von Variablen genutzt,
um die Eigenwerte und Eigenfunktionen der homogenen Wellengleichung mit gegebenen
Randbedingungen zu erhalten. In der Quantenmechanik kann diese Methode oft in Situationen angewendet werden, in denen die Energie additiv ist, d.h. dass der Hamiltonian
aus einer Summe von Operatoren besteht, wobei jeder Summand zu einer unterschiedlichen
Koordinate gehört.
a) Betrachten Sie ein Quantenteilchen der Masse m in der Gegenwart des folgenden, 3D Potentialtopfes.

Lα
Lα
0
≤α≤
α ∈ {x, y, z}
if −
2
2
V (x, y, z) =
+∞ otherwise
Bestätigen Sie, dass der dazugehörige Hamiltonian separabel ist, d.h. Ĥ = Ĥx + Ĥy + Ĥz ,
mit [Ĥα , Ĥβ ] = 0 für α 6= β.
b) Erklären Sie, warum die Eigenfunktionen des Hamiltonoperators Ĥ in faktorisierter Form
geschrieben werden können, Ψ(x, y, z) = ψx (x)ψy (x)ψz (z), und warum deshalb die Methode
der Separation der Variablen in diesem Problem genutzt werden kann.
c) Geben Sie die Eigenwerte und normierten Eigenfunktionen des Hamiltonian Ĥ an!
d) Unter welchen Voraussetzungen erwarten Sie, dass die Eigenenergien entartet sind? Zeichnen Sie ein Energiediagramm für den kubischen, unendlichen Potentialtopf, Lα = L , ∀α,
und erhalten Sie den Entartungsgrad g des Grundzustands und der ersten fünf angeregten
Zustände.
4 3D harmonischer Oszillator: Kartesische Koordinaten
(6 Punkte)
Ein dreidimensionaler, harmonischer Oszillator besteht aus einem Quantenteilchen der Masse
m im Potential
1
V (x, y, z) = m ωx2 x2 + ωy2 y 2 + ωz2 z 2 ,
[1]
2
wobei ωx , ωy und ωz positive Konstanten sind.
a) Analog zu Aufgabe 3 , bestimmen Sie das Energiespektrum und die normierten Eigenfunktionen des zu Gleichung [1] gehörenden Hamiltonoperators Ĥ.
b) Wie ist im allgemeinen Fall der Grad der Entartung gn des Energieniveaus En mit
3
,
En = ~ω n +
2
wobei, ω = ωx = ωy = ωz und n = nx + ny + nz ?
5∗ 3D harmonischer Oszillator: Kugelkoordinaten
(10 Bonus Punkte)
Der Oszillator, der durch das Potential in Gleichung [1] beschrieben wird, wird isotrop
genannt, wenn ωx = ωy = ωz . In diesem Fall hängt das Potential nur vom Abstand zwischen
Teilchen und Ursprung ab.
a) Argumentieren Sie, dass die Komponenten des Drehimpulses L̂ Konstanten der Bewegung
sind (sich also zeitlich nicht ändern) und dass wir Eigenzustände des Hamiltonoperators
bilden können, die gleichzeitig Ĥ, L̂2 and L̂z diagonalisieren.
b) Wir können, wie in Aufgabe 1 auf Blatt 4, analytische Ausdrücke für die Eigenenergieen
suchen, indem wir die Schrödinger Gleichung in Kugelkoordinaten lösen, wozu das asymptotische Verhalten untersucht wird. Zeigen Sie dafür zuerst, dass die Wellenfunktion separabel
ist, also Ψ(r, θ, ϕ) = R(r)Yl,m (θ, ϕ) mit Yl,m (θ, ϕ) gilt und zeigen Sie dass die radiale Funktion folgende Differentialgleichung erfüllt
2 0
l(l + 1)
00
2
R (ξ) + R (ξ) − ξ +
− 2 R(ξ) = 0,
[2]
ξ
ξ2
wobei ξ die dimensionslose Koordinate ist, die auf Blatt 4, Aufgabe 1 , eingeführt wurde
und E = ~ω.
c) Untersuchen sie das asymptotische Verhalten der Lösung in Gleichung [2] und begründen
Sie, dass sich jede physikalisch akzeptable Lösung für |ξ| → +∞ verhalten muss wie
2
ξ
R(ξ) ∼ exp −
.
2
Argumentieren Sie gleichermaßen, dass für |ξ| → 0, die einzige, physikalisch akzeptable
Lösung wie folgend sein muss:
R(ξ) ∼ ξ l .
ξ2
Folgern Sie, dass die radiale Funktion von der Form R(ξ) = ξ l e− 2 u(ξ) sein muss.
d) Um u(ξ) zu finden, führen Sie eine Reihenentwicklung durch (Frobenius-Methode)
u(ξ) =
+∞
X
k=0
ak ξ k .
Zeigen Sie, dass die Rekursionsrelation für die Koeffizienten gegeben ist durch
ak+2
2 − (2l + 2k + 3)
=−
,
ak
(k + 2)(2l + k + 3)
wobei k ∈ 2N.
Begründen Sie, dass es eine Abbruchbedingung der unendlichen Reihe geben muss, damit
das asymptotische Verhalten von R(ξ) wenn |ξ| → +∞ erhalten bleibt und dass aus dieser
Bedingung folgt:
3
Enr ,l,m = ~ω 2nr + l +
,
2
wobei nr und l ganze Zahlen sind.
e) Bringen Sie die Quantenzahlen in den Eigenenergieen von Aufgabe 4 Teil b) mit den
Quantenzahlen der Eigenenergieen aus Teil d) in Beziehung. Finden Sie die erlaubten Werte
für l zu den ersten Werten von n. Zeichnen Sie ein Energiediagramm für die untersten
Energieniveaus des dreidimensionalen, harmonischen Oszillators, das die Energieniveaus En
in Bezug auf die erlaubten Werte von l darstellt und diskutieren Sie Ihre Ergebnisse.