Blatt 6

Übung zu “Mathematische Rechenmethoden 2”
SS 2012
Übung 6
Ausgabe: 19.06.2012
Besprechung: Mo, 25.06 / Mi, 27.06. / Do, 28.06. / Fr, 29.06.2012
Aufgabe 21: Punktladung (4 Punkte)
Gegeben sei das elektrostatische Potential einer Punktladung in kartesischen Koordinaten ~x = (x, y, z)T :
Φ (~x) =
1 1
4π0 |~x|
a) Berechnen Sie das resultierende elektrische Feld
~ (~x) = −∇x,y,z Φ
E
in kartesischen Koordinaten.
(1 Punkt)
b) Bei genauerem Hinsehen erkennt man die Kugelsymmetrie des Problems. Transformieren Sie das
Potential in Kugelkoordinaten.
(1 Punkt)
c) Wie in Aufgabe 14 braucht man, um das elektrische Feld in Kugelkoordinaten ausrechnen zu
können, den Gradienten in Kugelkoordinaten. Konstruieren Sie hierfür zunächst die Einheitsvektoren
der sphärischen Koordinaten in kartesischen Koordinaten.
Hinweis: Einen Einheitsvektor ~eθ erhält man z.B. durch Variation von θ, bei gleichzeitiger Forderung
r = const. und φ = const., d.h.
∂x
∂y
∂z
~eθ ∝
~ex +
~ey +
~ez
∂θ
∂θ
∂θ
mit anschließender Normierung!
(1 Punkt)
d) Begründen Sie mit dem Ergebnis aus c, woher die Vorfaktoren des Gradienten in Kugelkoordinaten,
∂ 1 ∂
1
∂
gradr,θ,φ = ∂r
, r ∂θ , r sinθ
∂φ
(0.5 Punkte)
T
, kommen.
e) Berechnen Sie nun erneut das elektrische Feld, diesmal jedoch, unter Verwendung des in d angegebenen Gradienten, in Kugelkoordinaten.
(0.5 Punkte)
Aufgabe 22: Satz von Stokes (4 Punkte)
Berechnen Sie für die folgenden Vektorfelder F~ die Rotation und das Wegintegral entlang eines Kreises
in der xy-Ebene mit dem Radius R und dem Mittelpunkt (0, 0, 0). Der Kreis soll im Gegenuhrzeigersinn durchlaufen werden, wenn man in Richtung −~ez schaut.
a) F~ (~r) = ~r
(1 Punkt)
b) F~ (x, y, z) = (xy 2 , x2 y, z)T
(1 Punkt)
c) F~ (~r) = (~a · ~r)~b
(1 Punkt)
d) F~ (~r) =
(1 Punkt)
~ez ×~
r
|~ez ×~
r |2
Aufgabe 23: Homogen geladener Zylinder (2 Punkte)
Es sei ein homogen geladener Zylinder mit Radius
R und Ladungsdichte ρel gegeben. Das axial
~ = ρel (x, y, 0)T
symmetrische Feld im Innenraum x2 + y 2 ≤ R2 lässt sich durch das Vektorfeld E
20
T
ρel R2
2
2
2
~
beschreiben. Im Außenraum x + y ≥ R gilt E =
2
2 (x, y, 0) .
20 (x +y )
a) Berechnen Sie die Divergenz im Innenraum!
(0.5 Punkte)
b) Berechnen Sie die Divergenz im Außenraum!
(1 Punkt)
c) Interpretieren Sie die ersten beiden Teilaufgaben physikalisch. Wo ist das Feld quellenfrei und
weshalb?
(0.5 Punkte)
Aufgabe 24: Anwendung von Rechenregeln (2 Punkte)
~ das sich aus dem Skalarfeld Φ = y 2 ex z und
a) Bestimmen Sie die Divergenz des Vektorfelds F~ = Φ A,
T
~ = (x, z, −y) zusammensetzt.
dem Vektorfeld A
(1 Punkt)
~ 1 und A
~ 2 . Welche der Felder sind im Definitionsb) Berechnen Sie für x, y, z 6= 0 die Divergenz von A
bereich quellenfrei?
~ 1 = I (−y, x, 0)T
A
2πr2
(1 Punkt)
,
1
1
~ 2 = −grad
p
A
2
4π0 x + y 2 + z 2
!