Übungsblatt 5

Übungsblatt 5
zur Vorlesung EP2 (Prof. Grüner) im SS 2011
03. Juni 2011
Aufgabe 1: skalares Feld / Gradient
Das Potential
10 V · m2
V = 2
x + y2
beschreibt ein inhomogenes Feld. Berechnen Sie
a) einen Ausdruck für den Gradienten des Potentials.
1
− (x2 +y
x
2 )2 · 2x


20V · m2  
2 
1
∇V = 10V · m ·  − (x2 +y2 )2 · 2y 
=
−
 y 

(x2 + y 2 )2
0
0




b) den Betrag des Gradienten im Punkt (1 cm, 2 cm).
x = 1cm; y = 2cm
2
→ |∇V | = −
20V · m
[(1 · 10−2 m)2 + (2 · 10−2 m)2 ]2
|∇V | = 1, 79 · 106
V
m


· 

0, 01m 0, 02m 

0
c) die Stärke des elektrischen Feldes an diesem Punkt.
~ = −∇V
E
→ Das elektrische Feld zeigt in die entgegengesetzte Richtung, hat
aber den gleichen Betrag wie der Gradient.
Aufgabe 2: Divergenz
Gegeben ist das Vektorfeld
~u = x2~ex + exy~ey + xyz~ez .
1
Berechnen Sie die Divergenz des Feldes im Punkt (-1,1,2).
Lösung
∇ · ~u = ∂x (x2 ) + ∂y (exy ) + ∂z (xyz) = 2x + xexy + xy
im Punkt(−1, 1, 2) : ∇ · ~u = −2 − 2e−1 − 1 = −3, 74
Aufgabe 3: Kraft auf eine Probeladung
In der xy-Ebene liegen drei Ladungen: eine Ladung +q1 im Punkt
(1/2, 0), eine zweite Ladung +q1 im Punkt (-1, 0) und eine Ladung
−3q1 im Punkt (0,1).
a) Berechnen Sie die elektrische Kraft auf eine Probeladung +q im
Ursprung mit Hilfe des Coulombgesetzes.
b) Berechnen Sie die selbe Kraft unter Verwendung des elektrischen
Potentials.
Lösung
• a)
F~ =
"
#
1
1
3qq1
3qq1
−qq1 qq1
· 1 2 + 2 êx +
· 2 êy =
(−êx + êy )
4πǫ0
1
4πǫ0 1
4πǫ0
(2)
• b)


q1 
1
3
1

q
−q
V (x, y) =
+q
1 2
2
2
2
2
2
4πǫ0
(x − 2 ) + y
(x + 1) + y
x + (y − 1)
~ = −∇V entweder direkt ableiten (unschön), oder zuerst Näherung:
E
Näherung und restliche Rechnung siehe Zusatzblatt
2