Elektrodynamik (WS 14/15)

Elektrodynamik (WS 14/15)
Übung IV (Abgabe: 10.11.14)
1. Zylinderkondensator (5 Punkte)
Gegeben sei ein Zylinderkondensator (unendlich lange und dünne metallische
Zylinderrohre, keine Effekte durch Zylinderenden) mit Innenzylinderradius R1
und Flächenladungsdichte σ1 = σ, sowie Außenzylinderradius R2 und Flächenladungsdichte σ2 = −σ. Das Potential sei für φ(0) = 0.
~ r) sowie das Potential φ(~r).
(a) Berechnen Sie das elektrostatische Feld E(~
Achten Sie auf stetige Anschlussbedingungen für das Potential.
(b) Bestimmen Sie die Kapazitätsmatrix dieses Systems pro Längeneinheit
Cij
.
l
(c) Berechnen Sie die elektrostatische Energie pro Längeneinheit.
R2
Φ2
R1
Φ1
2. Metallhohlkugel (7+3 Punkte)
In einer geerdeten Metallhohlkugel (unendlich dünn) mit dem Radius R befindet
sich am Ort ~a die Ladung q.
(a) (4 Punkte)
Bestimmen Sie Größe und Ort ~a0 der Spiegelladung q 0 so, dass q und q 0 auf
der Kugeloberfläche gerade zu dem Potential φ(R) = φ(∞) = 0 führen.
Zeigen Sie hierzu, dass das elektrostatische Potential φ(~r) im Inneren der
Hohlkugel (r = |~r| < R) gegeben ist durch
φ(r, ϑ) =
4π0
√
q
q
p
−
,
r2 + a2 − 2ar cos ϑ 4π0 R2 + (ar/R)2 − 2ar cos ϑ
wobei ϑ den Winkel zwischen ~r und ~a bezeichnet und a = |~a|.
(b) (1 Punkt)
Welche Kraft wirkt auf die Ladung q?
(c) (1 Punkt)
Welche Ladung befindet sich insgesamt auf der geerdeten Kugelschale?
(d) (1 Punkt)
Bestimmen Sie das elektrostatische Potential im gesamten Außenbereich r >
R.
(e) (Bonus 3 Punkte)
Wie lautet die Newtonsche Bewegungsgleichung für die Punktladung mit
Masse m am Ort ~a (unter elektrostatischen Bedingungen)? Lösen Sie die
Bewegungsgleichung für den Spezialfall a R für kurze Zeiten t, wenn
die Punktladung sich zu Beginn in Ruhe befindet ~a˙ (0) = 0. Was passiert
qualitativ für längere Zeiten?
3. Greensche Funktion (6 Punkte)
In der Ebene z = 0 befinde sich eine Kreisscheibe mit Radius R auf dem Potential φ0 . Der Rest der Ebene sei geerdet so dass dort φ(~r) = φ(∞) = 0 (das
Potential verschwinde im Unendlichen). Wir wollen das Potential einer Punktladung (Ladung q, Position ~a) im Halbraum z ≥ 0 berechnen, das den obigen
Randbedingungen genügt.
(a) (1 Punkt)
Verifizieren Sie, dass
G(~r,~r0 ) =
1
1
−
0
0
4π0 |~r −~r | 4π0 |~r −~r + 2(~r0 · ~n)~n|
eine Greensche Funktion ist, die auf z 0 = 0 verschwindet. ~n ist ein Einheitsvektor orthogonal zur Kreisscheibe.
(b) (5 Punkte)
Das Potential ist im Halbraum z ≥ 0 gegeben durch (siehe Vorlesung Gl.
53)
ˆ
˛
3 0
0
0
df 0 φ(~r0 )~n · ∇~r0 G(~r,~r0 ).
d r G(~r,~r )ρ(~r ) − 0
φ(~r) =
z 0 ≥0
z 0 =0
Berechnen Sie mit Hilfe der Greenschen Funktion das Potential entlang der
senkrecht zum Kreis stehenden Achse durch dessen Mittelpunkt (für z ≥ 0).
Elektrodynamik (WS 14/15)
Präsenzübung 3.11.14
1. Kugelkondensator
Zwei konzentrische Metallkugelschalen mit den Radien R1 und R2 haben die
Potentialwerte φ1 und φ2 . Das Potential verschwinde im Unendlichen, d.h.
φ(∞) = 0.
(a) Bestimmen Sie das Potential φ(~r) sowie das
~ r) im gesamten Raum.
elektrische Feld E(~
Welche Ladungen q1 und q2 befinden sich
auf den Kugeln?
(b) Berechnen Sie die Kapazität C = Uq des
Kugelkondensators für den Fall q1 = −q2 =
q, wobei U = φ1 − φ2 ist.
(c) Betrachten Sie den Spezialfall d = R2 −
R1 R1 und vergleichen Sie die Kapazität mit der eines Plattenkondensators
ohne Randeffekte CPlatte = 0 Ad (mit Plattenfläche A und Plattenabstand d).
R2
R1
φ1
φ2