Bild einer Ladung in einem metallischen Objekt

41. Internationale Physikolympiade, Kroatien – Theoretische Klausur, 19. Juli 2010
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Bild einer Ladung in einem metallischen
Objekt
Einleitung – Die Methode der Bild-Ladung
Eine Punktladung q befindet sich in der Nähe einer geerdeten metallischen Kugel mit dem Radius
R [siehe Fig. 1(a)]. Infolge dessen wird auf der Kugeloberfläche eine Ladungverteilung induziert. Das
Berechnen des elektrischen Feldes und des Potentials aus einer Flächenverteilung der Ladung ist
keine einfache Aufgabe. Man kann Jedoch die Berechnung ziemlich vereinfachen, indem man die so
genannte Methode der Bild-Ladung verwendet. Mit dieser Methode kann man das elektrische Feld
und das Potential der Ladungsverteilung auf der Kugel so darstellen, als ob es sich um das elektrische
Feld und das Potential einer einzigen Punktladung q ' im Inneren der Kugel handelt. Sie müssen das
im Folgenden nicht nachweisen.
Anmerkung: Das elektrische Feld der Bild-Ladung q ' beschreibt das elektrische Feld und das
Potential nur ausserhalb der Kugel (einschliesslich der Kugeloberfläche).
(a)
(b)
Fig 1. (a) Eine Punktladung q in der Nähe einer geerdeten metallischen Kugel.
(b) Das elektrische Feld der auf einer Kugeloberfläche induzierten Ladung kann als elektrisches Feld
der Bild-Ladung q ' dargestellt werden.
Aufgabe 1 – Die Bild-Ladung
Aus Symmetriegründen müssen die Bild-Ladung q ' , die Punktladung q und der Kugelmittelpunkt
auf einer Geraden liegen. [siehe Fig. 1(b)].
a) Wie groß ist das Potential auf der Kugeloberfläche? (0.3 Punkte)
b) Drücken Sie q ' und die Entfernung d ' der Ladung q ' vom Kugelmittelpunkt durch folgende
Größen aus: q , d und R . (1.9 Punkte)
c) Ermitteln Sie den Betrag der Kraft, die auf q wirkt. Wirkt diese Kraft abstoßend?
(0.5 Punkte)
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Aufgabe 2 – Abschirmung eines elektrostatischen Feldes
Betrachten Sie eine Punktladung q , die sich in einer Entfernung d vom Mittelpunkt der geerdeten
Metallkugel mit dem Radius R befindet. Uns interessiert, wie sich die geerdete Metallkugel auf das
elektrische Feld im Punkt A auf der gegenüberliegenden Seite der Kugel auswirkt (siehe Fig. 2). Der
Punkt A, der Kugelmittelpunkt und die Ladung q liegen auf einer Geraden. Der Abstand zwischen q
und A wird mit r bezeichnet.
a) Bestimmen Sie den Vektor der elektrischen Feldstärke im Punkt A. (0.6 Punkte)
b) Betrachten Sie den Fall, dass r >> d ist. Bestimmen Sie für diesen Fall den Vektor der
elektrischen Feldstärke im Punkt A.
Verwenden Sie dafür folgende Näherung: (1+a)-2 ≈ 1-2a, wobei a << 1 . (0.6 Punkte)
c) Für welchen Grenzfall von d schirmt die geerdete Metallkugel das Feld der Ladung q so,
dass in A das das elektrische Feld genau den Wert Null hat? (0.3 Punkte)
Fig 2. Das elektrische Feld im Punkt A wird von der geerdeten Metallkugel teilweise abgeschirmt.
Aufgabe 3 – Kleine Schwingungen im elektrischen Feld der geerdeten
Metallkugel
Eine Punktladung q mit Masse m hängt an einem Faden der Länge L. Dieser ist an einer Wand
befestigt. q ist in der Nähe der geerdeten Metallkugel. Vernachlässigen Sie alle elektrostatischen
Effekte der Wand. Diese aufgehängte Punktladung bildet ein mathematisches Pendel (siehe Fig. 3).
Der Punkt, an dem der Faden an der Wand befestigt ist, hat die Entfernung l vom Kugelmittelpunkt.
Nehmen Sie an, dass Wirkungen der Schwerkraft vernachlässigbar sind.
a) Bestimmen Sie den Betrag des Vektors der elektrischen Kraft, die auf die Punktladung q
für einen gegebenen Winkel α wirkt. Stellen Sie mit einer aussagekräftigen Skizze die
Richtung dieser Kraft dar. (0.8 Punkte)
b) Bestimmen Sie die Komponente dieser Kraft, die senkrecht zum Faden wirkt. Drücken Sie
diese Komponente durch l , L, R, q und α aus. (0.8 Punkte)
c) Ermitteln Sie die Pendelfrequenz für kleine Auslenkungen. (1.0 Punkte)
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Fig 3. Eine Punktladung in der Nähe der geerdeten Metallkugel schwingt wie ein Pendel.
Aufgabe 4 – Die elektrostatische Energie des Systems
Beziehen Sie sich im Folgenden auf die Abbildung 1a: Um eine Verteilung elektrischer Ladungen zu
verstehen ist die Kenntnis der elektrostatischen Energie des Systems wichtig. In dieser Aufgabe geht
es um eine elektrostatische Wechselwirkung zwischen der äußeren Ladung q und der induzierten
Ladung auf der Kugel, und außerdem um die elektrostatischen Wechselwirkungen zwischen den
induzierten Ladungen auf der Kugel. Drücken Sie die folgenden elektrostatischen Energien durch die
Ladung q , den Kugelradius R und die Entfernung d aus:
a) die elektrostatische Energie der Wechselwirkung zwischen der Ladung
induzierten Ladungen auf der geerdeten Metallkugel, (1.0 Punkte)
q und den
b) die elektrostatische Energie der Wechselwirkung zwischen den induzierten Ladungen auf
der Oberfläche der geerdeten Metallkugel, (1.2 Punkte)
c) die gesamte elektrostatische Energie aller dieser Wechselwirkungen des Systems.
(1.0 Punkte)
Hinweis: Es gibt verschiedene Möglichkeiten um dieses Problem zu lösen:
(1) In einer dieser Möglichkeiten kann das folgende Integral nützlich sein:
∞
∫ (x
d
xdx
2
−R
)
2 2
=
1
1
.
2
2 d − R2
(2) In einer anderen ist die Tatsache wichtig, dass für eine Verteilung von N Ladungen q i , die sich in
r
den Punkten ri ,i = 1,… , N befinden, die elektrostatische Energie als Summe über alle LadungsPaare durch folgende Gleichung gegeben ist: V =
1 N N 1 qi q j
r r .
∑∑
2 i =1 j =1 4πε 0 ri − r j
i≠ j