Die Coulombkraft in einem Radialfeld einer Punktladung

Die Coulombkraft in einem Radialfeld
Was versteht man unter einem Radialfeld (Zentralfeld)?
In einem Radialfeld wirken Kräfte immer zum Mittelpunkt des entsprechenden Körpers.
Diese Art von Feldern nennt man deshalb auch konservative Kraftfelder.
Beispiel: Gravitationsfeld der Erde
elektrisches Feld einer Punktladung
das Wasserstoffatom
Diese Felder werden energetisch als abgeschlossenes System betrachtet und es gelten
entsprechende Erhaltungssätze der Physik.
z.B.:
Satz von der Erhaltung der Energie,
Satz von der Erhaltung der Masse,
Satz von der Erhaltung der Ladung,
Satz von der Erhaltung des Drehimpulses,
Satz von der Erhaltung des Drehmomentes.
E∝
1
r2
Für das Coulombpotential gilt demzufolge:
Q ⋅Q
1
⋅ 1 2 2 dr
4π ⋅ ε 0
r
r1
re
r2
W = ∫ F ⋅ dr = ∫
r1
r
W =
2
1
1
⋅ Q1 ⋅ Q2 ∫ 2 dr
4π ⋅ ε 0
r1 r
r
W =
2
1
⎛ 1⎞
⋅ Q1 ⋅ Q2 ⋅ ⎜ − ⎟
4π ⋅ ε 0
⎝ r ⎠ r1
⎛1 1⎞
1
⋅ Q1 ⋅ Q2 ⋅ ⎜⎜ − ⎟⎟
4π ⋅ ε 0
⎝ r1 r2 ⎠
Diese Gleichung ermöglicht es, die Verschiebungsarbeit zwischen zwei Punkten zu
berechnen.
W=
Aufgabe:
a) Berechnen Sie im Feld einer positiv geladenen Kugel ( r = 2,5cm; Q1 = 9 ⋅ 10 −12 C ) die
elektrische Feldstärke in den Punkten P1 und P2 , die r1 = 4,6cm und r2 = 10cm vom
Kugelmittelpunkt entfernt sind!
b) Bestimmen Sie die Spannung zwischen P1 und P2 !
c) Welche Kraft wirkt jeweils in den Punkten P1 und P2 auf eine positive Ladung
Q2 = 3 ⋅ 10 −12 C ?
d) Welche Arbeit muss verrichtet werden, um die Ladung Q2 von P2 nach P1 zu
verschieben?
Lösung:
a) Das Feld einer positiv geladenen Metallkugel mit dem Radius r entspricht bei einer
gleichmäßigen Ladungsverteilung dem elektrischen Feld einer Punktladung im
Kugelmittelpunkt. Folglich beträgt die Feldstärke im
Punkt P1 :
Q
1
V
E1 =
⋅ 2 = 38,2 und im
4πε 0 r1
m
Punkt P2
1
V
= 8,1 .
2
4πε 0 r2
m
Q 1
b) ϕ 1 =
⋅ = 1,76V
4πε 0 r1
Q 1
⋅ = 0,81V
ϕ2 =
4πε 0 r2
U = ∆ϕ = ϕ 1 − ϕ 2 = 0,95V
c) F1 = E1 ⋅ Q2 = 1,1 ⋅ 10 −10 N
F2 = E 2 ⋅ Q2 = 2,4 ⋅ 10 −11 N
E2 =
Q
⋅
r2
d) W1→2 = ∫ Q2 ⋅ Edr = 3 ⋅ 10
r1
W1→2 = 3 ⋅ 10 −12 C ⋅
Q1
4πε 0
−12
r2
C⋅∫
r1
Q
4πε 0
⋅
1
dr
r2
⎛1 1⎞
⎜⎜ − ⎟⎟ = 2,85 ⋅ 10 −12 J
⎝ r1 r2 ⎠