Übungen zur Theoretischen Physik II (Elektrodynamik) Prof. Dr. S. Marculescu, M. Jung, Ch. Klein SoSe 2007 Blatt 3 — Abgabe: 04.05.2007 — Besprechung: Dienstag, 08.05.2007, 10:15 Uhr Übungsblätter online: http://www.tp1.physik.uni-siegen.de/exercises/ Aufgabe 9: Potenzial einer homogen geladenen Kugel Bestimmen Sie das elektrostatische Potenzial Φ(r) einer homogen geladenen Kugel mit Radius R und Ladungsdichte ρ0 über das Coulombintegral. Legen Sie dazu r in z-Richtung und führen Sie das Integral in Kugelkoordinaten aus. Aufgabe 10: Punktladung vor geerdeten Metallplatten Das Gebiet B = {r|x ≥ 0, y ≥ 0, −∞ < z < ∞} sei bei x = 0 und y = 0 durch geerdete Metallplatten begrenzt. Innerhalb von B befinde sich eine Punktladung q bei (x, y, z) = (a, b, 0). (a) Bestimmen Sie das Potenzial Φ(r) in B mit Hilfe von drei symmetrisch verteilten Bildladungen. (b) Bestimmen Sie die Flächenladungsdichte und die Gesamtladung auf den Platten. (c) Welche Kraft wirkt auf die Punktladung? Hinweise: • Es gilt die Relation π b arctan + arctan = . b a 2 a Aufgabe 11: Punktladung vor Metallkugel Außerhalb einer geerdeten, leitenden Hohlkugel mit Radius R befinde sich eine Punktladung q im Abstand a zum Mittelpunkt. (a) Berechnen Sie das Potenzial Φ(r) überall im Raum mit Hilfe der Spiegelladungsmethode. (b) Bestimmen Sie die Ladungsdichte und die Gesamtladung auf der Oberfläche. bitte wenden (c) Es sei nun die Kugel nicht mehr geerdet, sondern isoliert, und ihre Gesamtladung verschwinde. Diesem Umstand soll Rechnung getragen werden, indem eine weitere Spiegelladung q ′′ = −q ′ in der Mitte der Kugel hinzugefügt wird (q ′ bezeichnet die Ladung der Spiegelladung aus (a)). Geben Sie das Potenzial in diesem Fall an und berechnen Sie den Wert des Potenzials auf der Kugel. (d) Mit welcher Kraft zieht die Kugel die Ladung q an? Hinweise: • Verwenden Sie Symmetrieargumente, um die Position der Spiegelladung auf eine Achse festzulegen. • Die Randbedingung an das Potenzial lässt sich am einfachsten auswerten, wenn man sie an speziellen Punkten betrachtet. Aufgabe 12: Randwertproblem mit Metallplatten Das Gebiet B = {r|0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b, −∞ < z < ∞} sei durch Metallplatten begrenzt. Die beiden Platten bei x = 0 und x = a seien geerdet, die beiden anderen bei y = 0 und y = b seien auf dem Potenzial Φ0 . (a) Begründen Sie, warum Φ(r) = Φ(x, y) gelten muss. (b) Lösen Sie die Laplacegleichung im Inneren des Bereiches B mit dem Separationsansatz Φ(x, y) = X(x)Y (y) und werten Sie die Randbedingungen aus. (c) Zeigen Sie, dass Sie im Grenzfall b → ∞ die Fourier-Reihe erhalten, die in der Vorlesung zum Teil behandelt wurde. (d) Diese Reihe werden. Führen Sie dazu die komplexe Variable π soll aufsummiert Z = exp i a (x + iy) ein und schreiben Sie die Lösung in der Form ! X Zn 4Φ0 Φ(x, y) = . Im π n n=1,3,5,... (e) Verwenden Sie nun die Gleichung X 2 1+Z Zn = ln n 1−Z n=1,3,5,... und berechnen Sie das Argument der Zahl komplexe Zahlen). 1+Z 1−Z (in der Darstellung z = reiφ für Hinweise: • Es gilt Z a dx sin 0 mπx a ( 0, falls m=2,4,6,... = 2a , falls m=1,3,5,... πm