Übung 3

Klassische Elektrodynamik (SS 2004)
Übung 3
26. 4. 2004
mündliche Aufgaben
Problem 13
(Selbstenergie)
Berechnen Sie die Feldenergie einer homogen geladenen Kugel vom Radius R. Den SelbstenergieBeitrag erhalten Sie, wenn Sie bei gleichbleibender Ladungsdichte ρ0 das Kugelvolumen gegen
Null gehen lassen. Betrachten Sie im Gegensatz dazu den Fall einer Punktladung und diskutieren Sie, für welche Ladungsverteilungen die Selbstenergie verschwindet bzw. endlich bleibt.
Problem 14
(Ladungsdichten)
(a) Geben Sie die Ladungsdichte einer Punktladung q am Ort r q an.
(b) Wie lautet die Ladungsdichte eines elektrischen Dipoles, der aus einer Punktladung −q
am Ursprung und einer Ladung +q am Ort a besteht.
(c) Was ist die Ladungsdichte einer infinitesimal dünnen Kugelschale vom Radius R, wenn
Sie eine Gesamtladung Q trägt.
Problem 15
(Felder an Grenzflächen)
(a) Zwei parallel unendliche Platten tragen betragsmäßig gleiche Oberflächenladungen mit
unterschiedlichem Vorzeichen. Nehmen Sie an, dass die linke Platte die Ladungsdichte
+σ trägt. Bestimmen Sie das elektrische Feld in den drei Raumbereichen: (I) links von
beiden Platten, (II) zwischen beiden Platten und (III) rechts von beiden Platten.
(b) Bestimmen Sie das Magnetfeld einer unendlich ausgedehnten Grenzflächenstromdichte
j s = js ex in der xy-Ebene.
Problem 16
(Elektrische Leiter)
Beweisen Sie die in der Vorlesung angegebenen Eigenschaften (2)-(5) von Leitern.
schriftliche Aufgaben
Problem 17
(10 Punkte)
(Faraday’scher Käfig)
Aus dem Innern einer (neutralen) leitenden Kugel mit Radius R sind zwei kugelförmige Aushöhlungen mit Radien a und b herausgeschnitten. Im Zentrum jeder Aushöhlung befindet sich eine
Punktladung, qa bzw. qb .
(a) Bestimmen Sie die Oberflächenladungen σa , σb und σR .
(b) Welches Feld herrscht im Außenraum der Kugel?
(c) Welches Feld herrscht im Innern der beiden Aushöhlungen?
(d) Welche der Antworten auf obige Fragen würden sich ändern, wenn man eine dritte Ladung
qc in die Nähe des Leiters brächte?
Problem 18
(Zweidimensionale Laplace- und Poisson-Gleichung)
Zeigen Sie, dass die Lösung der Poisson-Gleichung einer Punktladung λ am Koordinatenursprung in zwei Dimensionen
λ
ln(r)
φ(r) =
2π0
lautet. Zeigen Sie dazu, dass
(a) ∆φ = 0 für r 6= 0.
(b) Betrachten Sie eine geschlossene
Kurve in der xy-Ebene, die die Punktladung einschließt.
H
Berechnen Sie das Integral E · ndγ und zeigen Sie, dass es die Ladung innerhalb der
Kurve angibt. Hierbei ist n die nach außen gerichtete Normale auf dem Wegelement dγ.
(c) Zeigen Sie die Mittelwerteigenschaft für harmonische Funktionen in zwei Dimensionen.
(d) Sei f (z) ein komplexes elektrostatisches Potential in zwei Dimensionen. Zeigen Sie, dass
der Betrag des elektrischen Feldes durch E = |f 0 (z)| gegeben ist und dass − arg(f 0 (z))
den Winkel des elektrischen Feldes mit der x-Achse angibt.
Problem 19
(Harmonische Funktionen)
(a) Zeigen Sie, dass das elektrostatische Potential außerhalb von Ladungen keine lokalen
Extrema aufweisen kann.
(b) Rechtfertigen Sie in einem Satz das Earnshaw Theorem: Ein geladenes Teilchen kann
nicht ausschließlich durch elektrostatische Kräfte im Gleichgewicht gehalten werden. Betrachten Sie als Beispiel einen Würfel mit festen Punktladungen q an jeder Ecke. Es
scheint, als ob eine gleichnamige Ladung q in der Mitte des Würfels frei schweben könne
– abgestoßen von den Ladungen an den Würfelecken. Wo ist das Leck in dieser “elektrostatischen Flasche”?