Elektrodynamik für Bachelor plus Aufgabenblatt 4

Elektrodynamik für Bachelor plus
Ludwig-Maximilians-Universität München
Dr. Michael Haack
Aufgabenblatt 4
Abgabe: 23. Mai 2017
Aufgabe 1: Elektrostatische Energie einer geladenen leitenden Kugel (12 Punkte)
Auf dem letzten Übungsblatt wurde die elektrostatische Energie einer homogen
geladenen Kugel berechnet mit dem Ergebnis
Whom =
1 3 Q2
,
4π0 5 R
(1.1)
wobei R der Radius der Kugel ist und Q ihre Gesamtladung. In dieser Aufgabe
soll diese Energie mit der einer leitenden Kugel verglichen werden, die denselben
Radius und dieselbe Gesamtladung hat.
(a) Bestimmen Sie mit Hilfe des Gauß’schen Gesetzes das elektrische Feld, und
daraus das elektrostatische Potential, innerhalb und außerhalb der leitenden
Kugel. (9 Punkte)
(b) Berechnen Sie die Energie des elektrischen Feldes der leitenden Kugel Wleit
und vergleichen Sie mit (1.1). Begründen Sie kurz ohne Rechnung, warum es
physikalisch plausibel ist, daß eine der beiden Kugeln einen größeren Energieinhalt hat. (3 Punkte)
Aufgabe 2: Eindeutigkeit der Lösung des Randwertproblems (6 Punkte)
Gegeben sei das Randwertproblem
∆Φ(~r)
=
Φ(~r)
=
ρ
0
Φ0 (~r)
−
(in V )
(auf ∂V ) .
(2.1)
Es seien Φ1 (~r) und Φ2 (~r) zwei beliebige Lösungen. Ziel dieser Aufgabe ist es zu
zeigen, daß
Ψ(~r) := Φ1 (~r) − Φ2 (~r) = 0
(2.2)
gilt, die Lösung also eindeutig ist. Benutzen Sie zunächst die erste Green’sche
Identität (s. erstes Übungsblatt), um
Z
~ 2=0
d3 r (∇Ψ)
(2.3)
V
zu zeigen. Wieso folgt daraus (2.2)?
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Aufgabe 3: Methode der Bildladung für Metallkugel (5 Punkte)
Eine Punktladung q befindet sich im Abstand a vom Zentrum einer geerdeten
Metallkugel vom Radius R (a > R). Zu bestimmen ist das elektrostatische
Potential mittels Bildladung. Benutzen Sie dazu Kugelkoordinaten und wählen
Sie die z-Achse so, daß sie der Verbindungsachse zwischen Kugelmittelpunkt
und Punktladung q entspricht.
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R
Wählen Sie als Bildladung q 0 = − R
a q im Abstand b = a rechts vom Zentrum
der Kugel (s. Bild) und zeigen Sie, daß damit tatsächlich das Potential der Konfiguration aus Ladung und Bildladung auf der Kugeloberfläche verschwindet.
Bei Fragen:
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