Klassische Teilchen und Felder (Lehramt)

Klassische
Teilchen und Felder (Lehramt)
Prof. Dr. J. Wambach
Wintersemester 2011/12
13. Übungsblatt
27. Januar 2012
Aufgabe P26: Spiegelladung
Eine Ladung q befinde sich am Punkt ~x = (0, 0, a) oberhalb einer unendlich ausgedehnten leitenden Platte in der x y Ebene. Das Potential der Platte werde durch Erdung auf Null gehalten und ist somit gleich dem Wert des Potentials im
Unendlichen.
a) Wie verlaufen die elektrischen Feldlinien an der Grenzfläche zur leitenden Ebene?
b) Wie müsste man eine fiktive Punktladung qs wählen, die zusammen mit der realen Ladung q in Abwesenheit
der leitenden Ebene das gleiche elektrische Feld im oberen Halbraum erzeugt? Bestimmen Sie mit Hilfe dieser
Spiegelladung das Potential im oberen Halbraum (z > 0).
c) Bestimmen Sie das elektrische Feld unmittelbar über der leitenden Fläche und berechnen Sie damit die von der
Punktladung auf der Ebene influenzierte Oberflächenladungsdichte σ(x, y). Wie groß ist die gesamte influenzierte
Ladung?
Aufgabe P27: Kugelkondensator
Wir betrachten eine Anordnung aus zwei konzentrischen Kugelschalen mit Ladungen q1 , q2 und Radien R1 < R2 .
a) Bestimmen Sie das Potential der Anordnung in den drei relevanten Raumbereichen r ≤ R1 , R1 < r ≤ R2 und R2 < r .
Hinweis: Da das Potential eine Lösung der Poisson-Gleichung ist, muss es an den Grenzen der drei Bereiche stetig
sein.
b) Betrachten Sie die innere Kugelschale und zeigen Sie, dass die Normalkomponente des elektrischen Feldes bei R1
einen Sprung hat (siehe Vorlesung):
Š
€
σ
~ (2) − E
~ (1) = ,
~n · E
|~x |=R1
ε0
wobei der obere Index die beiden Raumbereiche unterscheidet und σ die Flächenladungsdichte der Kugelschale
ist.
c) Im Spezialfall eines Kugelkondensators sei nun q1 = −q2 = q. Bestimmen Sie die Kapazität C , definiert durch
q = C φ(R1 ) − φ(R2 ) = C U .
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Aufgabe H21: Elektrostatische Energie
Berechnen Sie die elektrostatische Energie einer Kugel mit Radius R und Gesamtladung Q für eine gleichmäßige Verteilung der Ladung auf der Kugeloberfläche. Bestimmen Sie zunächst die Ladungsverteilung (Stichwort: Delta-Funktion).
Bestimmen Sie dabei die Normierung so, dass die Gesamtladung Q beträgt.
Aufgabe H22: Dipolfeld
~ (~r) =
Das elektrische Feld einer Punktladung q ist gegeben durch E
~ = −∇φ
~ .
gilt E
q
~r
.
4πε0 |~r|3
Für das zugehörige elektrische Potential φ(~r)
a) Berechnen Sie φ(~r). Hierbei soll φ(~r) so gewählt werden, dass das Potential im Unendlichen verschwindet.
b) Verallgemeinern Sie dies für eine Punktladung am Ort ~r0 . Geben Sie den entsprechenden Ausdruck für das elektrostatische Potential und das elektrische Feld an.
c) Ein elektrischer Dipol besteht aus einer Punktladung q am Ort ~r0 und einer zweiten Punktladung −q am Ort −~r0 .
Das elektrische Feld dieser Anordnung setzt sich additiv aus den Feldern der einzelnen Ladungen zusammen.
Wie lautet das elektrostatische Potential φ D und das elektrische Feld eines solchen Dipols?
d) Sei nun der Abstand r viel größer als der Abstand a = 2|r0 | der beiden Ladungen. In diesem Fall kann der Ausdruck
für φ D (r) vereinfacht werden, indem man die Näherung p 1 ≈ 1 − ξ2 verwendet.
1+ξ
Berechnen Sie für diesen Fall das genäherte Potential φ D,id . In welchem Grenzfall wird der Ausdruck für das
Potential exakt?
e) Das elektrostatische Potential eines idealen elektrischen Dipols mit Dipolmoment ~p ist gegeben durch φ(~r) =
1 ~p·~r
. Identifizieren Sie das Dipolmoment ~p durch Vergleich mit der voherigen Aufgabe.
4πε r 3
0
~ (~r) = −∇φ(~
~ r) für den idealen Dipol.
f) Berechnen Sie das elektrische Feld E
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