Übungen in Elektrodynamik

Prof. Dr. G. M. Pastor
S. Riemer
T. Müller
Universität Kassel
Elektodynamik
WS 2011/12
Übungen in Elektrodynamik
Aufgabenblatt 1
Bitte geben Sie Ihre Lösungen spätestens Freitag, den 4.11.2011 in der Übung ab.
1)
10 points
Berechnen Sie mit Hilfe des Gauß’schen Satzes das elektrische Feld E(r) und damit
das Potential φ(r) für alle r ∈ R3
i) einer homogen geladenen Kugel mit Radius R und Ladungsdichte ρ0 .
ii) eines unendlich langen, beliebig dünnen Drahtes mit der Linienladung λ0
(Ladung pro Längeneinheit).
2)
10 points
Betrachten Sie eine homogen geladene, beliebig dünne Kreisscheibe mit Radius
R und Flächenladung σ0 (Ladung pro Flächeneinheit), welche in der xy-Ebene
liegt, und deren Mittelpunkt sich im Ursprung des Koordinatensystems befindet.
Berechen Sie das Potential φ(r) auf der z-Achse [d.h. r = (0, 0, z)], indem Sie das
Integal
ˆ
ρ(r 0 ) 3 0
1
dr
(1)
φ(r) =
4πε0
|r − r 0 |
auswerten.
Hinweis: Da die Kreisscheibe beliebig dünn ist, reduziert sich das Integral (1) auf
ein Flächenintegral.
3)
10 points
i) Berechen Sie das elektrische Feld E(r) und das Potential φ(r) eines Dipols
bestehend aus zwei Punktladungen q und −q im gegenseitigen Abstand d, d.h.
einer Punktladung q1 = q am Punkt r 1 = d2 n̂ und einer zweiten Punktladung
q2 = −q am Punkt r 2 = − d2 n̂, wobei n̂ ein beliebiger Einheitsvektor ist.
Fertigen Sie zunächst eine Skizze des Problems an.
ii) Zeichnen Sie das elektrische Feld des Dipols.
iii) Entwickeln Sie das Potential φ bis zur ersten Ordnung um d/r = 0 bzgl. d/r,
um das Verhalten des Potentials in großer Entfernung vom Dipol (r d)
zu untersuchen. Drücken Sie das Resultat mittels des Dipolmoments p =
q (r 1 − r 2 ) = qdn̂ aus. Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Potential einer
Punktladung und interpretieren Sie das Resultat physikalisch. Ist E(r) zentral?
Hinweis: Alternativ kann man d → 0 gehen lassen und einen beliebigen
endlichen Wert von r betrachten, wobei die Stärke des Dipolmomentes |p| = qd
konstant gehalten wird.
4)
10 points
Betrachten Sie zwei unendlich ausgedehnte, beliebig dünne, parallele Platten mit
homogener Flächenladungsdichte σ0 und −σ0 im Abstand d. Eine der beiden Platten
liege in der xy-Ebene, die zweite Platte befinde sich bei z = d.
i) Berechen Sie mit Hilfe des Gauß’schen Satzes das elektrische Feld E(r) und
damit das Potential φ(r). Ist das elektrische Feld E und das Potential φ an
den Grenzflächen stetig? Tragen Sie die z-Komponente des elektrischen Feldes
Ez und das Potential φ als Funktion von z auf.
ii) Betrachten Sie Ihre Ergebnisse im Grenzfall d → 0, wobei d · σ0 = D =
konstant gelten soll. Ist das resultierende Potential bei z = 0 stetig? Begründen Sie ihre Antwort physikalisch.