Blatt 12: Satz von Gauss, Satz von Stokes

Fakultät für Physik
Jan von Delft, Katharina Stadler, Frauke Schwarz
T0: Rechenmethoden für Physiker, WiSe 2013/14
http://homepages.physik.uni-muenchen.de/~vondelft/Lehre/13t0/
Blatt 12: Satz von Gauss, Satz von Stokes
Abgabe: Freitag, 31.01.2014, 13:00
Beispielaufgabe 1: Gradient, Divergenz, Rotation, Laplace in Zylinderkoordinaten
(**)
In einem krummlinigen orthogonalen Koordinatensystem mit r = r(u, v, w) und ∂u r =
bu eu , ∂v r = bv ev , ∂v r = bv ev sei f (r) ein Skalarfeld und B(r) = eu Bu + ev Bv + ew Bw ein
Vektorfeld. Dann sind Gradient, Divergenz, Rotation und Laplace-Operator gegeben durch
1
v
,
∇f = eu ∂u f + u v + u
bu
w
w
1
v
∇·B=
∂u (bv bw Bu ) + u v + u
,
bu b v bw
w
w
i
1 h
v
∂v (bw Bw ) − ∂w (bv Bv ) + u v + u
∇ × B = eu
,
bv bw
w
w
1
bv bw
v
2
.
∇ f = ∇ · (∇f ) =
∂u
∂u f + u v + u
bu b v bw
bu
w
w
Betrachten Sie Zylinderkoordinaten, definiert durch r = (ρ cos φ, ρ sin φ, z)T .
(a) Wie lauten eρ , eφ , ez und bρ , bφ , bz ?
Finden Sie, ausgehend von den oben angegebenen Formeln, explizite Formeln für
(b) ∇f , (c) ∇ · B, (d) ∇ × B, und (e) ∇2 f .
(f) Überprüfen Sie explizit, mittels den oben angegebenen Formeln für Gradient und Rotation
für allgemeine krummlinigen Koordinaten u, v, w (also nicht spezifisch für Zylinderkoordinaten), dass ∇ × (∇f ) = 0 .
Beispielaufgabe 2: Gradient, Divergenz, Rotation in Kugelkoordinaten (**)
Gegeben sei ein Skalarfeld f (r) = 1r und ein Vektorfeld v(r) = (e−r/a /r)r mit r = (x, y, z)T
p
und r = x2 + y 2 + z 2 . Berechnen Sie ∇f , ∇ · v, ∇ × v und ∇2 f explizit für r > 0, (a) in
kartesischen Koordinaten und (b) in Kugelkoordinaten. [Vergleichen Sie die Ergbnisse aus (a)
und (b)!]
Beispielaufgabe 3: Magnetfeld eines stromdurchflossenen Leiters: Divergenz und
Rotation in Zylinderkoordinaten, Satz von Stokes (**)
Ein unendlich langer, unendlich dünner Leiter sei entlang der z-Achse orientiert und trage
einen Strom I. Er generiert ein Magnetfeld folgender Form:


−y
p
µ0 I
1
 x  = µ0 I 1 e ϕ ,
B(r) =
für
ρ
=
x2 + y 2 > 0.
2π x2 + y 2
2π ρ
0
1
Berechnen Sie die Divergenz und die Rotation von B(r) explizit für ρ > 0, (a) in kartesischen
Koordinaten und (b) in Zylinderkoordinaten. [Vergleichen Sie die Ergebnisse aus (a) und (b)!]
(c) Berechnen Sie mittels Zylinderkoordinaten das Linienintegral γS r · B des Magnetfelds
entlang des Randes γS einer kreisförmigen, parallel zur x-y-Ebene orientierten, auf der
z-Achse zentrierten Scheibe S mit Radius R > 0.
(d) Berechnen
Sie mittels dem Satz von Stokes und dem Ergebnis aus (c) das Flussintegral
´
dS · (∇ × B) der Rotation des Magnetfelds über die in (c) beschriebenen Scheibe S.
SA
(e) Folgern Sie aus Ihren Ergebnissen für ∇ × B aus (a) und (d), dass die Rotation des
Feldes proportional zu einer zwei-dimensionalen δ-Funktion ist, also die Form ∇ × B =
Cez δ(x)δ(y) hat, und finden Sie die Konstante
C. [Hinweis: die Normierung der 2D-δ´
Funktion ist durch das Flächenintegral S dS δ(x)δ(y) = 1 gegeben, für eine beliebige,
parallel zur x-y-Ebene gelegene, den Punkt x = y = 0 einschliessende Fläche S.]
(f) Schreiben Sie Ihr Ergebnis aus (e) in die Form ∇ × B = µ0 j(r) und bestimmen Sie j(r).
Diese Gleichung ist das Gesetz von Ampère (eine der Maxwell-Gleichungen), wobei j(r)
die Stromdichte ist. Lässt sich Ihr Ergebnis für j(r) entsprechend interpretieren?
Beispielaufgabe 4: Satz von Gauß – Zylinder und Würfel (**)
(a) Berechnen Sie das Volumen eines Zylinders mit Höhe h und Grundkreisradius R als FlussIntegral mit dem Satz von Gauss und einem Vektorfeld mit der Eigenschaft ∇ · v = 1,
z.B. v = zez .
(b) Berechnen Sie den Fluss Φ des Vektorfeldes v = (x2 , y 2 , z 2 )T durch die Oberfläche des
Würfels 0 < x < a, 0 < y < a, 0 < z < a auf zwei Weisen: (b1) direkt als Fluss-Integral;
und (b2) via dem Satz von Gauß als Volumenintegral.
Beispielaufgabe 5: Satz von Stokes (**)
Betrachten Sie folgendes Vektorfeld in Kugelkoordinaten:
A = A ϕ eϕ ,
mit
Aϕ = γ
sin θ
.
r3
´
(a) Berechnen Sie explizit den Fluss Φ = H dS · B von B = ∇ × A durch die Halbkugel
H = {r|x2 + y 2 + z 2 = R2 , z > 0}. (Die Orientierung der Fläche sei durch die Vorgabe
festgelegt, dass der Normalvektor für jedes Flächenelement δS “nach oben” zeige, d.h.
eine positive z-Komponente habe.)
(b) Verwenden Sie den Satz von Stokes, um den Fluss Φ durch ein Linienintegral auszudrücken, und berechnen Sie dieses ebenfalls explizit.
2
Hausaufgabe 1: Gradient, Divergenz, Rotation, Laplace in Kugelkoordinaten (**)
In einem krummlinigen orthogonalen Koordinatensystem mit r = r(u, v, w) und ∂u r =
bu eu , ∂v r = bv ev , ∂v r = bv ev sei f (r) ein Skalarfeld und B(r) = eu Bu + ev Bv + ew Bw ein
Vektorfeld. Dann sind Gradient, Divergenz, Rotation und Laplace-Operator gegeben durch
1
v
∂u f + u v + u
,
bu
w
w
1
v
∇·B=
∂u (bv bw Bu ) + u v + u
,
bu b v bw
w
w
i
1 h
v
∇ × B = eu
∂v (bw Bw ) − ∂w (bv Bv ) + u v + u
,
bv bw
w
w
bv bw
1
v
2
∂u
∂u f + u v + u
∇ f = ∇ · (∇f ) =
.
bu b v bw
bu
w
w
∇f = eu
Betrachten Sie Kugelkoordinaten, definiert durch r = (r sin θ cos φ, r sin θ sin ϕ, r cos θ)T .
(a) Wie lauten er , eθ , eφ und br , bθ , bφ ?
Finden Sie, ausgehend von den oben angegebenen Formeln, explizite Formeln für
(b) ∇f , (c) ∇ · B, (d) ∇ × B, und (e) ∇2 f .
(f) Überprüfen Sie explizit, mittels den oben angegebenen Formeln für Gradient und Rotation
für allgemeine krummlinigen Koordinaten u, v, w (also nicht spezifisch für Kugelkoordinaten),
dass ∇ · (∇ × B) = 0 .
Hausaufgabe 2: Gradient, Divergenz, Rotation in Zylinderkoordinaten (**)
Gegeben sei ein Skalarfeld f (r) = z(x2 + y 2 ) und ein Vektorfeld v(r) = (zx, zy, 0)T .
Berechnen Sie ∇f , ∇ · v, ∇ × v und ∇2 f explizit, (a) in kartesischen Koordinaten und (b) in
Zylinderkoordinaten. [Vergleichen Sie die Ergbnisse aus (a) und (b)!]
Hausaufgabe 3: Elektrisches Feld einer Punktladung: Divergenz und Rotation in
Kugelkoordinaten, Satz von Gauß (**)
Das elektrische Feld einer Punktladung Q am Ursprung hat die Form
 
x
p
Q 1  
Q er
Q 1
y
r
=
=
,
mit
r
>
0,
r
=
x2 + y 2 + z 2 .
E(r) =
4πε0 r3
4πε0 r3
4πε0 r2
z
(ε0 ist die sogenannte dielektrische Konstante.) Berechnen Sie die Divergenz und die Rotation
von E(r) explizit für r > 0, (a) in kartesischen Koordinaten und (b) in Kugelkoordinaten.
[Vergleichen Sie die Ergebnisse aus (a) und (b)!]
´
(c) Berechnen sie mittels Kugelkoordinaten den Fluss ΦK = OK dS · E des elektrischen
Feldes durch die Oberfäche OK einer am Ursprung zentrierten Kugel K mit Radius
R > 0.
(d) ´Berechnen Sie mittels dem Satz von Gauß und dem Ergebnis aus (c) das Volumenintegral
dV (∇ · E) über das Volumen VK der in (c) beschrieben Kugel K.
VK
3
(e) Folgern Sie aus Ihren Ergebnissen für ∇ · E aus (a) und (d), dass die Divergenz des
Feldes proportional zu einer drei-dimensionalen δ-Funktion ist, also die Form ∇ · E =
C δ (3) (r) hat, und finden Sie die Konstante´C. [Hinweis: die Normierung von δ (3) (r) =
δ(x)δ(y)δ(z) ist durch das Volumenintegral V dV δ (3) (r) = 1 gegeben, für ein beliebiges,
den Ursprung einschliessendes Volumen V .]
(f) Schreiben Sie Ihr Ergebnis aus (e) in die Form ∇ · E = ρ(r)/ε0 , und bestimmen
Sie ρ(r). Diese Gleichung ist das (physikalische) Gesetz von Gauß (eine der MaxwellGleichungen), wobei ρ(r) die Ladungsdichte ist. Lässt sich Ihr Ergebnis für ρ(r) entsprechend interpretieren?
Hausaufgabe 4: Dipolpotential: Gradient, Divergenz, Rotation in Kugelkoordinaten, Satz von Gauß (**)
Das Potential eines elektrischen Dipols mit Dipolmoment p = pez ist gebeben über
Φ(r) =
1 pz
1 p·r
=
3
4πε0 r
4πε0 r3
(a) Berechnen Sie das elektrische Feld E = −∇Φ(r) explizit in kartesischen Koordinaten.
(b) Stellen Sie Φ(r) in Kugelkoordinaten dar und berechnen Sie das elektrische Feld explizit
in Kugelkoordinaten. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem Ergebnis aus (a).
Hinweis: ez = cos θer − sin θeθ
(c) Berechnen Sie die Divergenz und die Rotation des elektrischen Feldes explizit in kartesischen Koordinaten.
(d) Berechnen Sie die Divergenz und die Rotation des elektrischen Feldes explizit in Kugelkoordinaten. [Vergleichen Sie die Ergebnisse von (b) und (c)!]
´
(e) Laut dem (physikalischen) Gesetz von Gauß gilt VS dS·E = Q/ε0 , wobei Q die Gesamtladung innerhalb des von VS eingeschlossenen Volumens und ε0 die dielektrische Konstante
ist. Berechnen Sie Q/ε0 , indem Sie das Fluss-Integral mittels dem (mathematischen) Satz
v. Gauß in ein Volumenintegral über ∇ · E umschreiben, und dieses mittels dem Ergebnis
von (d) auswerten. Ist Ihr Ergebnis für Q/ε0 sinnvoll? Erläutern Sie!
Hausaufgabe 5: Satz von Gauß – Kegel (**)
´
Gegeben ist das Vektorfeld v = (z, y, z + 1)T . Berechnen Sie den FlusspΦ = dS · v nach
außen durch die Oberfläche des Kegels K = {(x, y, z) ∈ 3 ; 0 ≤ z ≤ 2 − x2 + y 2 } auf zwei
verschiedene Weisen, nämlich:
R
(a) Berechnen Sie zuerst den Fluss Φ = ΦM + ΦG durch den Mantel M und den Grundkreis
G des Kegels explizit mittels Zylinderkoordinaten.
(b) Benutzen Sie nun den Satz von Gauß, um den Fluss über ein Volumenintegral zu berechnen.
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Hausaufgabe 6: Satz von Stokes – magnetischer Dipol, Halbkugel (**)
Jedes Magnetfeld lässt sich als B = ∇ × A darstellen, wobei das Vektorfeld A das ‘Vektorpotential’ des Feldes genannt wird. Für einen magnetischen Dipol gilt
A=
µ0 m × r
,
4π r3
B=
µ0 3r(m · r) − mr2
,
4π
r5
wobei µ0 eine postive Konstante ist. Das konstante Dipolmoment m sei nun in z-Richtung
orientiert, m = mez . H sei eine Halbkugel mit Radius a, deren Grundfläche in der xy-Ebene
liegt und deren Rundung zur positiven z-Achse´orientiert ist. Berechnen Sie das Flussintegral
des Magnetfelds durch diese Halbkugel, ΦH = H dS · B, auf zwei verschiedene Weisen:
(a) Direkt, mittels Kugelkoordinaten.
(b) Drücken Sie Φ mittels B = ∇ × A und dem Satz von Stokes durch ein Linienintegral von
A über den Rand der Grundfläche von H aus, und berechnen Sie letzteres.
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