Einheit 4: Vektordifferentialoperatoren

Einheit 4:
Vektordifferentialoperatoren
Theorie
Die Grundgleichungen und viele abgeleitete Sachverhalte
der Elektrodynamik können mit Vektordifferentialoperatoren sehr kompakt angegeben werden. (Die Alternative
besteht in äquivalenten integralen Darstellungen. Es
hängt von der Problemstellung ab, welche Schreibweise
den direkteren oder leichter nachvollziehbaren Lösungsweg ermöglicht.)
Es werden drei Vektordifferentialoperatoren erster Ordnung benötigt:
• der Gradient,
• die Divergenz,
• die Rotation
sowie als Differentialoperator zweiter Ordnung
• der Laplace-Operator,
der zunächst nur auf skalare Felder angewandt wird.
Da dies häufig zu Fehlern führt, wird hier nachdrücklich
auf den Unterschied von Feldkomponente - also z.B. Wy und Abhängigkeit von den Koordinaten hingewiesen.
Beispiel: Die Wy-Komponente des Vektorfelds W hängt
(außer in Sonderfällen) immer auch z.B. von den Koordinate x und z ab!
In der Elektrodynamik wimmelt es nur so von Vektorfeldern - elektrisches (E) und magnetisches Feld (H), elektrische Verschiebungsstromdichte D, magnetische Flußdichte B, der Poynting-Vektor S der Leistungsflußdichte
und die Stromdichte j sind die prominenten Vertreter. Ein
anschauliches Vektorfeld entsteht bei der Betrachtung
von Teilchengeschwindigkeiten in einer Gas- oder Fluidströmung.
Mit ein Grund ihrer auf viele abschreckenden Wirkung
sind die drei unterschiedlichen Schreibweisen von Gradient, Divergenz und Rotation:
• direkt durch Kürzel grad, div und rot (wobei zur weiteren Komplikation in einem Teil der englischsprachigen Literatur für die Rotation auch curl gebraucht
wird),
Eine skalare Größe φ wird im Fall einer Abhängigkeit vom
Ort (x,y,z) als skalares Feld φ(x,y,z) im dreidimensionalen Raum bezeichnet (wobei als Sonderfall auch ein eigentlich ortsunabhängiges φ als sogenanntes “homogenes” Feld aufgefasst werden kann). Bekannte anschauliche Beispiele für skalare Felder sind die Temperaturoder Druckverteilung in einem Raum. In der Elektrodynamik kennt man z.B. das elektrostatische Potential, das
magnetostatische Skalarpotential, die Ladungsdichte ρ,
die elektrische oder die magnetische Energiedichte als
skalare Felder.
• unter Verwendung des sogenannten Nabla-Operators
∇ (s.u.);
Eine Feldgröße W (gesetzt als Fettdruck, handgeschrieben mit übergestelltem Vektorpfeil) , die hingegen selbst
Vektorcharakter hat, also ihrerseits an jedem Punkt (x, y,
z) durch drei skalare Komponenten aufgespannt wird,
heißt Vektorfeld:
Der Gradient wird auf skalare Felder angewandt und
zeigt anschaulich in Richtung des steilsten Anstiegs des
Skalarfelds im Raum. Er liefert einen Vektor der geschrieben wird als:
• oder durch eine sehr zweckmäßige, aber selten vorgestellte Matrixschreibweise.
Der Nabla-Operator ∇ ist definiert als ein Vektor der drei
Ableitungen nach den Raumkoordinaten:
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Die Divergenz eines Vektorfelds liefert anschaulich das
Maß der Quellstärke des Feldes in dem Raumpunkt, in
dem sie gebildet wird (“Wieviel Feld fließt von diesem
Punkt weg?”) Sie ist folglich eine skalare Größe, die sich
folgendermaßen berechnet:
(Beachte, daß in der ∇-Schreibweise der Unterschied zum
Gradient nur durch den Skalarprodukts-Punkt und den
Vektorcharakter des Arguments erkennbar ist.)
Die Rotation bereitet der Anschauung die meisten Probleme. Am ehesten nähert man sich ihr vielleicht durch die
Überlegung, daß mikroskopisch eine Änderung eines
Vektorfelds nur durch von einem Bezugspunkt wegstrebende Feldanteile entstehen kann (für die dann Divergenz zuständig ist), oder durch kleine um den Bezugspunkt kreisende Wirbel. Deren Unanschaulichkeit rührt
wesentlich aus dem Umstand, daß jede Koordinatenebene einen eigenen kleinen Wirbel in jedem Raumpunkt
trägt, die Rotation also insgesamt drei Komponenten
benötigt, und daher selbst ein Vektorfeld ist. Man berechnet sie, was sich aus obigem Versuch einer Veranschaulichung auch nicht unmittelbar ableiten läßt, als:
Zu allem Übel gelten diese Darstellungen nur in kartesischen Koordinaten; die Ausdrücke in anderen Koordinatensystemen werden durch die dann selbst ortsabhängigen Einheitsvektoren noch komplizierter.
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Aufgaben
c) Bilde mit den beiden vorgenannten Vektoren:
A_04_5)
Entscheide, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind!
Begründe die Entscheidung!
A_04_1)
Berechne den Gradienten grad f folgender Funktionen:
a) Die Summe zweier Wirbelfelder ist divergenzfrei. ??
A_04_3)
Berechne Divergenz und Rotation folgender Vektorfelder
(a, b, c konstant):
b) Der Gradient eines Skalarfelds hat Quellen und Wirbel. ??
c)% Die Rotation einer Divergenz verschwindet überall. ??
d) % Die Divergenz eines Wirbelfelds verschwindet
überall. ??
e)% Ein reines Wirbelfeld läßt sich als Gradient eines skalaren Felds angeben. ??
f)% Ein divergenzfreies Feld, das nur eine x-Komponente
hat, hängt nicht von x ab. ??
g)% Falls ein Potential der Laplace-Gleichung genügt,
dann und nur dann ist sein Gradient wirbelfrei. ??
h)% Es gibt kein überall quellen- und wirbelfreies Feld. ??
A_04_6)
A_04_4)
Zeige folgende wichtige Identitäten (Hinweis: verwende
dazu bevorzugt die Matrixschreibweise der Operatoren):
Gegeben ist ein Vektorfeld A(r), das durch Integration
über eine geschlossene Stromschleife mit Strom I entsteht:
A_04_2)
a) Der Ortsvektor r kann als Spaltenvektor der x-, yund z-Koordinate geschrieben werden:
Bilde rot A! An welche bekannte Gesetzmäßigkeit erinnert das Resultat?
A_04_7)
(Die Anwendung eines Laplace-Operators auf ein Vektorfeld ist komponentenweise zu verstehen.) Zeige ferner
folgende beiden Beziehungen, die man sich in Analogie
zur Produktregel am besten in ∇-Schreibweise merkt:
Bilde:
Eine spezielle TE-Welle in einem Rechteck-Hohlleiter hat
folgendes gegebenes E-Feld:
.
b) Sei v ein gegebener konstanter Vektor. Bilde:
Berechne mit Hilfe der Beziehung
das B-Feld! Wie heißt die angegebene Gleichung?
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