Anhang 1: Gradient, Divergenz, Rotation

Anhang 1: Gradient, Divergenz, Rotation
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Anhang 1: Gradient, Divergenz, Rotation
Felder
Wird jedem Punkt im Raum eine skalare Größe U zugeordnet (z. B. Temperatur, elektrisches
Potential, ...), so spricht man von einem skalaren Feld.
Wird jedem Punkt im Raum ein Vektor u zugeordnet (z. B. Geschwindigkeit von Teilchen in
einem strömenden Medium, elektrisches Feld, ...), so spricht man von einem Vektorfeld.
Anmerkung: Variablennamen von skalaren Größen werden kursiv, jene von Vektoren fett
gedruckt.
Nabla Operator
Zur Vereinfachung der Schreibweise von Ableitungen nach dem Ort wird der Differentialoperator „Nabla“ (Symbol ∇) definiert. Im kartesischen Koordinatensystem hat er folgende
Form:
∇=
∂
∂
∂
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z
(A1)
wobei i, j und k die Einheitsvektoren in x-, y-, und z-Richtung sind. Wird dieser Operator mit
einer Größe verknüpft, so ist diese daher in die drei Raumrichtungen abzuleiten. Ist die Größe
ein Skalar so erhält man den „Gradienten“. Will man Nabla auf einen Vektor anwenden, so
gibt es zwei Möglichkeiten: Die Verknüpfung über ein Skalarprodukt ergibt die „Divergenz“,
die Verknüpfung über ein Vektorprodukt die „Rotation“.
Gradient eines skalaren Feldes
U sei ein skalares Feld. Für jede Raumrichtung gibt die partielle Ableitung die Größe der
Änderung von U an, also z. B. ∂∂Ux die Änderung in x-Richtung. Um diese drei Änderungen
zusammenzufassen definiert man den Gradienten als
gr ad U = ∇U =
∂U
∂U
∂U
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z
(A2)
grad U ist also ein Vektor in Richtung des maximalen Zuwachses von U, der Betrag von
grad U gibt die Größe der Änderung an.
Divergenz eines Vektorfeldes
u = u x i + u y j + u z k sei ein Vektorfeld im kartesischen Koordinatensystem. Die Divergenz
berechnet sich zu
d iv u = ∇ ⋅ u =
∂ u x ∂ uy ∂ uz
+
+
∂y
∂z
∂x
(A3)
div u ist ein Skalar und beschreibt die Quellen des Feldes u. Daher bedeutet div u = 0, dass
das Feld quellenfrei ist.
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Die 3. Maxwellgleichung beschreibt das elektrische Feld als Quellenfeld, dessen Quelle eine
elektrische Ladung ist. Definiert man die dielektrische Verschiebung D über die Materialgleichung
(A4)
D =εE
(ε … Dielektrizitätskonstante) und verallgemeinert man die Ladung als verteilte
Ladungsdichte ρ, so lautet die Gleichung:
d iv D = ρ
3. Maxwellgleichung
(A5)
Es gibt keine einzelnen magnetischen Pole, das Magnetfeld ist also quellenfrei. Dies drückt
die 4. Maxwellgleichung über die magnetische Flussdichte folgendermaßen aus:
4. Maxwellgleichung
d iv B = 0
(A6)
Rotation eines Vektorfeldes
u = u x i + u y j + u z k sei ein Vektorfeld im kartesischen Koordinatensystem. Die Rotation
berechnet sich zu
r ot u = ∇ × u =
i
j
k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
ux
uy
uz
 ∂ uz ∂ uy 
 ∂ ux ∂ uz 
∂ uy ∂ ux 
=
−
−
−
i + 
j+
k
∂z   ∂z
∂x 
∂y 
 ∂y
 ∂x
(A7)
rot u ist ein Vektor und beschreibt die Wirbel des Feldes u. Daher bedeutet rot u = 0, dass das
Feld wirbelfrei ist.
Die 1. Maxwellgleichung beschreibt das magnetische Feld als Wirbelfeld, dessen Ursache
(Wirbel) ein elektrischer Strom ist. Bezeichnet man die Leitungsstromdichte mit J, so ist die
magnetische Feldstärke H, welche mit der magnetischen Flussdichte über die
Materialgleichung
(A8)
B = µH
verknüpft ist (µ ... Permeabilitätskonstante),
r ot H = J +
Der Term
∂D
∂t
∂D
∂t
1. Maxwellgleichung
(A9)
sagt aus, dass Wirbel des magnetischen Feldes auch durch zeitliche
Veränderung des elektrischen Feldes hervorgerufen werden können. Im Gegensatz zum
Leitungsstrom ist
Vakuum.
∂D
∂t
ein Verschiebungsstrom. Dieser ermöglicht die Wellenausbreitung im
Anhang 1: Gradient, Divergenz, Rotation
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In der Elektrostatik ist das elektrische Feld wirbelfrei, es gibt daher keine geschlossenen Feldlinien des elektrischen Feldes. Ändert sich jedoch die magnetische Flussdichte
(
∂B
∂t
)
≠ 0 , so
gibt es laut 2. Maxwellgleichung auch Wirbel des elektrischen Feldes:
r ot E = −
∂B
∂t
2. Maxwellgleichung
(A10)
Bei der Wellenausbreitung im freien Raum sind die Feldlinien von magnetischer und
elektrischer Feldstärke über die Wirbel
∂D
∂t
und −
∂B
∂t
miteinander verbunden.
Gaußscher Integralsatz
Den Übergang von einem Volumsintegral zu einem Flächenintegral über jene geschlossene
Fläche, welche das Volumen begrenzt, liefert:
∫∫∫ div u d V = ∫∫ u ⋅ d A
Volumen
(A11)
Hülle
Dabei weist dA nach außen und steht senkrecht auf die Hüllfläche.
Stokesscher Integralsatz
Den Übergang von einem Flächenintegral zu einem Linienintegral über jenen geschlossenen
Weg, welcher die Fläche begrenzt, liefert:
∫∫ rot
Fläche
u ⋅d A =
∫u ⋅ d s
Berandung
Dabei ist ds der Fläche dA rechtswendig zugeordnet.
(A12)
Anhang 2: Der Nablaoperator in verschiedenen Koordinatensystemen
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Anhang 2: Der Nablaoperator in verschiedenen Koordinatensystemen
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Allgemein gilt:
∇=
e ui
∑U
1
i
∂
(A13)
∂ ui
wobei die Koordinaten ui und die metrischen Koeffizienten Ui für die einzelnen Koordinatensysteme folgendermaßen lauten:
Ko. s ys tem
k ar tes is ch
zylin d er
u1
x
r
k u gel
r
u2
y
ϕ
ϑ
u3
z
z
U1
1
1
U2
1
r
U3
1
1
d s1
dx
dr
d s2
dy
rdϕ
d s3
dz
dz
ϕ
1
r
r s in ϑ
dr
rdϑ
r s in ϑ d ϕ
Daraus folgen
Nabla:
in kartesischen Koordinaten
in Zylinderkoordinaten
in Kugelkoordinaten
 ∂ 


∂ x
 ∂ 
∇=
∂ y


 ∂ 
∂ z 
 ∂ 


 ∂r 
1 ∂ 
∇= ⋅ 
r ∂ϕ
 ∂ 


 ∂z 
∂




∂r


1 ∂


∇=
⋅
 r ∂ϑ 
 1
∂ 
⋅ 

 r s in ϑ ∂ϕ 
Anhang 2: Der Nablaoperator in verschiedenen Koordinatensystemen
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Gradient, Divergenz und Rotation lauten
Gradient1:
in kartesischen Koordinaten
in Zylinderkoordinaten
in Kugelkoordinaten
 ∂ Φ


∂x
 ∂ Φ
gr ad Φ = 
∂y


 ∂ Φ 
∂z 
 ∂Φ 


 ∂r 
1 ∂ Φ
gr ad Φ =  ⋅
r ∂ϕ 


 ∂ Φ 
 ∂z 


∂Φ


∂r


 1 ∂Φ 
grad Φ = 
⋅
∂ϑ 
r

 1 ⋅∂Φ
 r sin ϑ ∂ ϕ 


 Br 
  1 ∂ (rB r ) 1 ∂ Bϕ ∂ B z
d iv  Bϕ  = ⋅
+ ⋅
+
∂r
∂z
r ∂ϕ
  r
 Bz 
 Br 
  1 ∂ (r 2 Br )
∂ Bϕ
1
∂ (sin ϑ Bϑ )
1
div Bϑ  = 2 ⋅
+
⋅
+
⋅
r sin ϑ
r sin ϑ ∂ϕ
∂r
∂ϑ
B  r
 ϕ
 Bx 
  ∂ Bx ∂ By ∂ Bz
Divergenz: d iv  B y  =
+
+
∂x
∂y
∂z
 
 Bz 
Rotation:
Hx 


r ot  H y 


Hz 
∂ Hz ∂ Hy 


−
∂z 
 ∂y
∂ Hx ∂ Hz 
=
−

z
∂
∂x 

∂ Hy ∂ Hx 
−


∂y 
 ∂x
 Hr 


r ot  H ϕ 


 Hz 
 1 ∂ H z ∂ Hϕ 


⋅
−
∂z
 r ∂ϕ



∂ Hr ∂ Hz
=
−

∂z
∂r


 1 ∂ (rH ϕ ) 1 ∂ H r 
− ⋅
 ⋅

r ∂ϕ 
∂r
r
 Hr 


r ot  H ϑ 
H 
 ϕ
 1  ∂ (s in ϑ H ϕ ) ∂ H ϑ  

−


∂ϑ
∂ϕ  
 r s in ϑ 

∂ H r 1 ∂ (rH ϕ ) 
1
=
⋅
− ⋅

r
∂r
 r s in ϑ ∂ϕ



1  ∂ (rH ϑ ) ∂ H r 
⋅
−



r  ∂r
∂ϑ 


Bei Verwendung von Zylinder- oder Kugelkoordinaten schreibt man das skalare Potential groß (Φ statt ϕ), um Verwechslungen mit der Koordinate ϕ zu
vermeiden.
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